中学数学·高中版

2025年07期

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2024上海卷第12题探究 摘要：2024年上海卷填空压轴题是一道新定义题目，为数列与集合的综合应用.本题考查学生对数学语言的掌握，对试题中的数学概念和性质的理解，以及用数学思想、数学方法分析试题的能力，体现数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.关键词：新定义；数列...
理解教材巧设计培养能力提素养 摘要：文中以教材为学材，以教材的“思考”“例题"和“习题”等为背景巧妙自然地引出问题，抽象出数学模型，利用全概率公式写出数列的递推关系式.让学生体会到全概率公式是求解复杂事件发生的概率的有力工具，领会特殊与一般、转化与化归的数学思...
假以时间还你惊喜 全概率背景下的递推数列问题在近年的高考中已经多次出现，且都在压轴题的位置，得分率都不高，说明这类问题既是重点又是难点，因而，高三复习安排此专题很有必要. 高三复习课的首要事情是选题，选题很能反映老师的专业功底和对高考方向的把握.本课从教材中...

回归教材巧挖掘，创新构造妙应用 摘要：高中数学教材中的一些典型例（习)题，是高考数学试卷的命题之源.结合一道高考模拟题，回归教材实例，关注教材中相关典型例（习)题的应用性、拓展性与抽象性等，借助常规思维的应用和三角恒等变换以及创新构造思维，开拓数学思维，合理、巧妙归纳总结...

信息技术与高中数学概念教学的巧妙融合 摘要：信息技术与数学课程的深度融合是新课标明确提倡的，也是促进学生数学核心素养落地的重要举措.以人教A版“任意角”为例，探讨信息技术在概念教学中的实践应用，包括情境导入、概念要素剖析、实验探索论证、推广延伸等环节，从而有效地突破学生的学习难...
波利亚“怎样解题”提示语在解题中的应用 摘要：以波利亚的“怎样解题表”为理论基础，深入剖析其提示语在高考数学解题中的应用.通过详细解析2024年全国高考变式题，展示如何运用这些提示语引导学生理解题意、拟定计划、执行计划并回顾反思，为数学解题教学提供有益参考，助力学生提升解题能力与...
例谈高中数学概率统计中的创新问题 近年来，高中数学概率统计解答题的命题趋势发生了显著的变化，这些变化不仅体现在题目难度的提升上，更重要的是，它们不再单纯考查学生的概率统计知识，而是呈现出与高中数学其他板块知识点融合考查的趋势[1].这些融合创新主要涉及： ① 概率统计与不等...
STEAM视角下高中数学跨学科主题教学实践 摘要：以高中“函数的概念”为例，以四个情境为载体，以建构函数的概念为主线，从STEAM视角进行高中数学跨学科主题教学设计与实践，融合不同学科知识解决真实情境问题，引导学生感受数学与自然科学、工程技术和人文社科等知识的融合，培养学生跨学科思维...
高中数学教学中数学建模活动的设计与实施 摘要：本研究探讨了高中数学教学中数学建模活动的创新设计与实施效果.活动设计通过策略性地结合课程标准、选取现实问题、强调团队合作和引入数学软件，旨在提升学生的实践能力.实施过程涉及活动启动、问题分析、模型构建、模型求解与验证以及成果展示等环节...
聚焦数学核心素养的大单元教学实践 摘要：平面向量作为“几何与代数”主题的首章内容，在教学上具有引领示范的作用，向量是数学中最基本的工具，集数与形于一身，是几何与代数融合的桥梁.以“向量在物理中的应用举例”为例，旨在探讨“大单元”理念下在应用章节如何实现学生深度学习，开展高中...
信息技术在数学课后服务中的应用原则与实践 摘要：信息化时代，信息技术在数学课后服务中发挥重要作用，促进教研的深度探究，促进教学的高质量发展，激发学生的学习兴趣，利于数学辩证思维的培养，助于数学核心素养的培育，利于教研组(备课组)形成合力，提升教育教学质量....
核心素养导向下跨学科数学建模的课程实践探究 摘要：普通高中数学课程标准明确提出，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.要求通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学...
创设情境在投影向量教学中的实践 摘要：概念教学是数学教学的基础与核心，如何有效开展概念教学是当下数学研究的重要课题.在投影向量数学中以“创设实际情境”模式引入新知——投影向量，充分调动学生日常生活中的常识，帮助学生更加直观地理解数学概念，凸显了创设情境引入课题的优势....
基于核心素养的高中数学大单元教学实践 摘要：以高中立体几何为例，探讨如何通过大单元教学，促进学生空间思维能力、数学应用能力和创新思维的全面发展.通过整合教学内容、创设问题情境、设计多样化的课堂活动和评估方式，打破传统知识碎片化的局限性，帮助学生在实际情境中灵活运用数学知识，提升...
多元表征视角下高中数学情境概念教学探究 摘要：数学是一门重要学科，在新课改持续深入的背景下，教师不仅要提高学生的解题能力、应试技巧，更要在教学过程中重视情境概念课的教学.数学是思维的科学，概念是思维的细胞，数学情境概念是整个高中数学的基础.基于对高中数学情境概念课中遇到的问题的分...
高三数学一轮复习高效课堂教学探索 摘要：高三数学一轮复习具有时间跨度长、知识覆盖面广、学习难度大等特点.在当前新高考理念背景下，课堂教学该如何开展？高三数学一轮复习高效课堂教学探索以“直线与圆的位置关系”为案例，给出了提高课堂教学效率、打造有味课堂、提升复习效率的一些做法....
搭建问题链，助力单元教学 摘要：基于“三角函数”单元的整体把握，借助“问题链”教学，以“三角函数的诱导公式”一课为例，设计与本单元教学重点和方法相统一的数学问题链.探究如何借助“问题链”设计，助力数学大单元教学，促进学生核心素养的发展....
着眼学生实际，提升学习能力 数学教学关注学生综合能力和核心素养的培养，为此在数学教学中，教师要营造更适合学生发展的平台，鼓励学生去发现、去探究、去合作、去解决，从而在知识发生和发展的过程中形成学习能力，提升数学素养[1].笔者以“基本不等式的证明"教学设计为...

高中数学学困生数学抽象素养发展障碍及对策 摘要：数学抽象的基本过程可分为感知与识别、分类与概括、定义与表征、系统化与结构化四个主要阶段.通过纸笔测试、问卷调查与个别访谈发现，学困生数学抽象素养发展障碍集中表现在感知与识别、分类与概括两个阶段，具体表现为不能通过观察发现数学对象间的异...
聚焦数据运算凸显统计思维 统计学的研究对象是数据，核心是数据分析，用数据探索事物发展的规律.高中统计课程主要研究考虑数据随机性的推断统计，在样本可以获得的情况下，运用样本数据进行分析、推断总体的一些数字特征或取值规律，突出在数据分析的基本过程中学习随机现象的归纳性推...
巧用特例法妙解选填题 考场答题，应尽量“小题小做”，以贏得宝贵的答题时间.面对选填题，往往可根据选择题结果“唯一”或填空题答案“明确”的特征，灵活考虑巧妙的解题方法一—特例法.本文拟从多个不同的视角举例说明“特例法"在处理有关选填题中的巧妙运用，旨在帮...
解三角形中最值问题的应对策略 摘要：涉及解三角形中的最值(或取值范围)问题，是其综合应用中比较重要的热点与难点问题之一.结合解三角形的应用情境创设，挖掘问题的本质与内涵，归纳求解相应最值(或取值范围)问题的一些常见思维、技巧与策略，总结解题思维、方法与技巧、规律....
基于导数应用，探究函数零点 摘要：导数及其应用作为高中数学中的一个重要知识点与重要工具，是高考数学命题的一个热点与难点.而基于导数应用,巧妙研究一些与函数零点相关的问题，是其中考查的一个重要方向与场景.从几类比较常见的典型问题入手，结合实例剖析，总结解题技巧、方法与策...
多类型创新设置，数列奇偶项应用 摘要：涉及数列中的奇偶项问题，是以数列中奇数项、偶数项分别为各自对应的数列类型来巧妙设计，交汇数列中的不同知识，切实体现高考命题中“在知识交汇处命题”的指导方针.依托数列奇偶项合理设计中比较常见的几类创新设置情境，借助实例剖析与应用，总结解...
莫让“嵌套”遮望眼，唯有“探究”识真颜 摘要：三角函数问题是函数问题的一种深入拓展与应用，二者之间的交汇与融合更是高考命题中比较常见的基本题型之一.结合一个三角函数嵌套场景下的零点相同问题的创设，从不同思维视角切入，通过不同技巧、方法来解决，合理拓展变式，归纳总结规律，培养学生的...

一道数列奇偶项求和原创题的命制 摘要：数列奇偶项问题是近几年的常见考点，基于此命制了一道通过新定义运算得出一个奇偶项数列，并以此构造新数列求和，进而证明不等式的原创题.需要求和的数列兼具奇偶项问题和等差数列与等比数列相乘的问题的特点，可根据问题的结构特点选择不同的方法求解...
多维探索三角函数全面提升核心素养 摘要：在创新性教育背景下，命题小组通过一道以高等数学知识为背景，结合结构不良试题类型的三角函数试题的命制过程，揭示问题的开放性、知识的融合性、解法的多维性.原创题目考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养....
高考命题：数形相结合，椭圆光影随 摘要：解析几何作为高考重点内容，解题形式多样.基于椭圆的切线，结合椭圆的光学性质来命题，综合考查直线与椭圆的位置关系和学生数学运算能力....

一道彭赛列闭合定理模考题的深度探究 1试题呈现...
一道双变元最值问题的探究 涉及双变元代数式的最值（或取值范围）问题，是基于函数与方程、不等式等基础知识创设，合理恒等变形与转化，综合相应的数学思维与技巧方法，合理分析与求解相应的双变元代数式的最值（或取值范围）.此类问题往往交汇与整合不等式、函数与方程、三角函数、函...
一道模拟试题的课本溯源与背景探究 摘要：对一道模拟试题进行解法探究，并从课本中找到这道题命制的依据，实际上就是高等数学中的仿射变换，之后对仿射变换进行了性质探究....
“等”与“不等”巧转化，“两边夹定理"妙应用 摘要：在数学中，“等”与“不等”是相对的，二者之间经常会根据需要加以合理化归与转化，进而加以巧妙应用.结合一道模拟题中不等式恒成立的应用场景，结合“等”与“不等”之间的转化，进而来确定对应代数式的最值问题，依托“两边夹定理”来化“不等”为“...
乱花渐欲迷人眼，常数列“同一首歌" 摘要：作为联系等差数列与等比数列的统一体——常数列，是数列问题中特殊思维与构造思维等方面的一个产物，也是创新思维与创新应用的一个重要场景.结合一道模拟卷中的数列解答题，就问题的突破与应用开拓思维，特别是其中常数列的构造与应用，剖析解题技巧与...
合理挖掘条件内涵，巧妙思维方法应用 摘要：基于一些高中数学竞赛试题的研究与应用，是高考数学解题研究的一个参考与借鉴方向，也是融合竞赛与高考二者之间密切联系的一个很好的结合点.结合一道解三角形题的求解与应用，从竞赛解题视角与高考解题视角等不同方面切入，结合不同思维方式与技巧、方...
一道含参不等式恒成立问题的探究 摘要：涉及含参不等式恒成立的综合应用问题，是新高考数学试卷中一类考查数学“四基”与“四能”的重要应用场景，场景新颖，知识交汇，内涵丰富，解法灵活.结合一道高考模拟题，就含参不等式恒成立问题中对应参数的取值范围的求解及其应用，总结解题技巧，归...
数列与复数思维，探究三角式求和 摘要：数学文化类试题，给数学问题的设置提供了沃土，成为数学创新意识与创新应用的一大阵地.从一道数学文化背景下的三角函数求值题为例，结合文化场景设置，挖掘问题场景，发散数学思维，从不同视角加以剖析与应用，合理变式拓展，提升数学解题能力，培养学...
一道“鸡爪型”解三角形问题的多解探究 由于“鸡爪型"解三角形问题比较常见，也常考，因此，关注此类问题的多解探究尤为重要，有利于拓宽解题思维视野，强化相关数学知识、方法在解题中的灵活、综合运用能力，提升直观想象与数学运算等方面的数学核心素养....
高观点下导数试题的深入剖析与启示 摘要：函数与导数问题始终是高考数学中的核心题型，在高中数学课程体系中占据着举足轻重的地位.随着新高考改革的深入推进，以高等数学为蓝本的导数创新题型层出不穷，基于此，特选取一道以三角函数为载体的导数题进行深入剖析.从洛必达法则、泰勒展开等高等...
一道解三角形题的探究 在“三新”背景下，随着新教材的深入应用，特别是解三角形知识作为平面向量及其应用中的一类基本应用类型，是同时拥有“数”与“形”的一类数学综合应用问题，也是“数”与“形”不同思维视角切入与应用的一个重要场所.解三角形问题中，合理交汇并融合不同知...
双变量二次型最值问题的深度探究 双变量条件等式下的代数式最值问题，是考试中经常出现的一类题目，在这类问题中，无论是条件等式，还是欲求最值的代数式，都具有多样化的特点.解答这类问题，应分析双变量代数式的特点，可以从方程视角、不等式视角、函数视角、三角函数视角等多种视角入手，...
椭圆离心率常见题型求解策略 椭圆离心率问题是解析几何中的热点题型，这类问题涉及的知识点较多，综合性较强，题型也多样化，主要考查椭圆几何性质、椭圆定义、方程等知识点之间的联系.该题型能够很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.4求解方法对比分析在椭圆离心率的常见题型求...
圆锥曲线中的最值与范围问题的求解方法 圆锥曲线中的最值与范围问题通常是高中数学的重点与难点.这类问题综合性强，对学生的思维能力要求较高.解决圆锥曲线最值、范围问题的方法多样，其中巧用几何图形求最值，可充分利用圆锥曲线的几何性质，将问题转化为图形中的距离、角度等关系来求解.构建函...
证明有方向求解有方法 在高考中，空间角度中的直线与平面的夹角问题（简称“线面角”），堪称高考中的“常驻"考点.线面角问题的条件纷繁复杂，综合性极高，而空间向量法被视为破解这类难题的关键钥匙，通过向量的视角来剖析立体几何中的线面角问题.其解题的核心流程如...
巧用基本不等式求解三角形最值问题 根据要求的问题可以将三角形最值问题分为求线段最值、求周长最值、求面积最值及求角度最值四种情境，考查的知识点有正弦定理、余弦定理、三角函数恒等变形、向量、几何图形的性质、面积计算公式等，知识涉及面广.但是对于大多数习题，最终会落脚到运用基本不...
逻辑推理定性质，归纳应用显身手 摘要：抽象函数及其综合应用问题，是数学抽象与逻辑推理相结合的一种重要题型，也是数学核心素养考查的一个重要场景.借助一道高考模拟题，以抽象函数为问题场景来确定对应的函数值，挖掘抽象函数本质，从推理与归纳等不同思维方式入手，从中抽取对应的函数基...
依托公式特征，多维数学应用，提高运算素养 摘要：三角函数中正弦平方差公式，是三角恒等变换公式与应用的一个重要拓展，形式结构优美，对于解决一些应用问题有奇效.借助正弦平方差公式，结合实例就该公式在三角求值、解三角形及抽象函数等方面问题的多维应用，开拓数学思维，提升数学应用，实现有效复...
有关函数的不等式证明的多解探究 利用导数工具与导数法思维方式来证明对应的不等式成立，是函数与导数的综合应用，以及不等式证明等知识中比较综合的一个基本知识点，也是不等式证明的一种基本技巧、方法.解决一些不等式的证明时，根据所要证明的不等式的结构特征与性质内涵，挖掘问题的本质...
一道“好圆”解析几何新定义题的探究 摘要：创新定义与创新应用问题，是创新意识与创新应用的一个重要动向，成为竞赛、高考等命题中比较常见的一类创新应用问题.结合一道解析几何题的“新定义”及其应用，以创新定义的形式来设置，从不同思维来发散与切入，剖析问题的内涵与实质，探求问题的突破...
一道强基函数最值题的探究 摘要：涉及多变量的函数、方程及不等式等综合问题，是新高考、强基等数学试卷中一类考查数学“四基”与“四能”的重要应用场景，场景新颖，知识交汇，内涵丰富，解法灵活.结合一道强基题，就多变量函数最值问题的解题技巧与方法加以展开与剖析，总结解题技巧...
依托“阅读与思考"栏目赏析跨学科试题 在新课标、新教材、新高考的“三新"背景下，有些试题依托“在知识网络的交汇点"进行命题，而学科知识之间的交汇与融合也是命题的一个热点.因此，依托高中数学教材中课后阅读材料的形式来合理融合其他学科的知识，“阅读与思考&quo...

“变式"教学变什么 变式教学有利于发展学生数学能力，提升学生数学素养.高中数学“变式"教学究竟变什么？怎样才能实现变式的真正价值？笔者结合教学案例谈点看法，以期抛砖引玉. 1变问题的“形式” 数学问题虽然千变万化，但有些问题本质却相同，在教学中，我们...
以生为本因势利导精彩生成 摘要：教学是一门学问，也是一门艺术.高三复习课堂上随时会出现意想不到的生成，作为教师，应以生为本，因势利导，让学生积极投入到探错因、探本质与探根源活动中，促进课堂的精彩生成....
高中数学分层教学的实践探索 分层教学作为一种创新且富有实效的教学模式，正日益受到教育界的广泛关注，其根本目的在于因材施教，充分尊重学生的个体差异，使每个学生都能在适合自己的学习层次上获得最优化的发展.当前，高中数学教学普遍存在着学生能力层次差异显著的现象.在传统“一刀...
高中数学教学中融入思政元素的策略探索 在新时代教育背景下，将思政教育融人各学科教学成为重要任务.高中数学作为一门重要的基础学科，不仅要传授知识与技能，更应承担起育人的责任[].数学中蕴含着丰富的思政元素，如严谨的逻辑思维、理性精神、创新意识等.将思政元素融入高中数学教学，有助于...
依托高等数学背景，导数创新定义应用 摘要：高考中涉及导数及其应用问题中，经常会有一些涉及新定义的高等数学背景的问题出现，成为全面考查考生“四能"的一个重要场景.依托高等数学中的常见问题，通过泰勒展开式、帕德近似、拉格朗日中值定理等的新定义及数学知识，结合实例加以剖析...
高中数学结构不良试题分析及解法突破探究 ② 垂心（三条高的交点）. 分析：本题以华罗庚“数形结合”文化引入向量概念，但文化阐述冗长，缺乏与题意的直接联系，容易干扰解题重心.第一问既要证明重心向量表达式又要求4m+n 的最小值，考点集中但未分层，步骤跳跃，难以理清思路；第二问要求从...