高中数学结构不良试题分析及解法突破探究

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② 垂心（三条高的交点）.

分析：本题以华罗庚“数形结合”文化引入向量概念，但文化阐述冗长，缺乏与题意的直接联系，容易干扰解题重心.第一问既要证明重心向量表达式又要求4m+n 的最小值，考点集中但未分层，步骤跳跃，难以理清思路；第二问要求从外心或垂心中选一完成余弦计算，二选一设置不必要且易致混乱，增加了决策负担.整体结构未突出核心向量运算与几何结合的考查意图，层次不够分明，建议删减文化背景，明确分步要求，去除模糊选择，突出数形结合核心考点，使题意更清晰.助力学生准确把握数形结合思想.兼顾思维训练与能力.

解法破解：从“剥离装饰、直击核心”的思路入手.首先，快速略读开头名言，将其视为对数形结合精神的阐释而非解题前提，然后将注意力聚焦在向量任务上.明确： ① 利用重心在三角形中将顶点向量平均化的性质，直接得出点 G 向量表达； ② 分点 M，N 的参数意义，即边上定位后用比例关系转换为参数式； ③ 外心与垂心各自所满足的条件以及它们在向量表达中带来的不同限制.接着，按照由简到难的顺序逐步展开：先完成重心表达，夯实基础向量思维；然后通过对M，N 参数的几何意义理解，将最值问题转化为参数范围内的线性组合优化；最后根据所选的特殊点条件，借助向量内积的几何含义求出夹角余弦.在整个过程中，重点在于对“重心平均”“定比分点”和“内积几何意义”三大模块的普适性把握，形成一套通用于各类向量几何题的解题模板，而不被文化前言或多选一的设置所干扰.如此，既能帮助学生快速提取有效信息，也为解决后续变式题提供了可迁移的思路.

3学科交汇情境下的结构不良试题

根据定义，解决下列问题：

（1）通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质：

（D[cosh（x）]2-[sinh（x）]2=1 ②sinh（2x）=2sinh（x）∙cosh（x） ③cosh（2x）=[cosh（x）]2+[sinh（x）]2.

请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是 （填人其中一个序号，多选只按第一个计分）.

（2）已知函数 f（x）=cosh（2x）-m∙sinh（x）+ m2-3 在区间 ， ]上有两个不同的零点，求实数 Σm 的取值范围.

分析：本题以双曲函数在物理学中的应用开篇，强调与三角函数类比，但背景说明过于简单且与考题联系缺乏深度，易使学生无法将物理意义与数学推导有效结合起来.第（1）问是在三个相似性质中任选一条进行证明，考查对双曲函数基本恒等式的理解，但未给出提示思路，层次跳跃；第（2）问要求在特定对称区间内寻找参数 Ψm 使函数具有两不同零点，虽考查零点分布与函数单调性，但区间表达复杂，易增加学生运算障碍.整体缺乏学科交汇的实质性联系与引导，知识点衔接生硬，建议删减物理背景，突出数学运算层次，分步明确考查目标，提高结构合理性与解题效率，更易把握.

解法破解：应剥离“装饰”，快速锁定核心任务.一是选择一条基本性质进行简洁证明，二是在给定区间内判断参数使函数恰有两个不同零点.

对于第（1）问，建议从最易把握的平方差关系人手，因为它与后续判定单调性、判断符号的思路最为接近：只需借助函数的奇偶性与指数形式展开，就能在短短数步内完成证明，避免深入其他更繁琐的恒等式推导.

对于第（2）问，可按以下通用步骤操作：

① 先明确所选性质在本函数中的单调影响：用它来说明函数的增长或下降趋势，帮助判断在区间端点的函数值大小；

② 将端点的具体数值代入原式，观察符号变化，借助“值域覆盖”原则确定必有两次符号翻转；

③ 综合单调性与端点符号，直接得出参数范围.

这一思路的普遍指导意义在于：不论是双曲函数、三角函数还是其他指数型函数，都可以先用已证性质把握整体走向，再结合端点符号判断零点个数.如此既能快速提取有效信息，也能形成一套“证明一单调分析一端点符号一零点判定"的通用模板，帮助学生在面对学科交汇的“外衣”时，将注意力聚焦到函数本体与解题框架上，从容不迫地攻克各类变式题.

笔者列举了社会生活、数学文化和学科交汇三类结构不良试题，剖析了背景信息冗余、逻辑衔接欠缺等结构缺陷，提出了“剥离干扰—聚焦核心—模块化解题"的普适策略；通过对典型例题的步骤梳理与思维建构，为学生搭建了清晰的解题框架，引导学生在信息筛选与模型构建中不断提升批判性思维与迁移能力，实现从“被动应试”向“主动探究”的真正转变。（剩余0字）