《线性代数》学习中三次方程求根方法探讨

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【摘要】在线性代数学习中，学生经常会遇到方程求根问题，如系数矩阵为方阵且含有参数的线性方程组解的判别，方阵的特征值的计算等均以方程的求根为基础.矩阵阶数越高对应方程的次数就越高，而高次方程的求解一直是个难点.本文以三元线性方程组解的判别和三阶方阵求特征值的问题为出发点总结归纳了三次方程的几种求根方法.

【关键词】三次方程;方阵特征值;系数矩阵含参数的线性方程组解的判别

【基金项目】本文系湖南省普通高等学校教学改革研究项目（项目编号：HNJG-2020-0628）;湖南省2020一流课程《线性代数》项目.

《线性代数》是高等学校理科、工科及经济类等非数学专业本科生必须学习的一门公共基础课程，该课程具有概念多、抽象、逻辑严密等特点.线性代数知识体系中，包含两个重要内容，一个是线性方程组解的判别，另一个是方阵特征值的计算.众所周知，《线性代数》是以线性方程组为主线发展起来的，从而线性方程组解的判别与求解对于学习线性代数十分重要.方阵特征值与特征向量是计算方阵高次幂、二次型化标准型的重要方法的基础.

由此我们发现解决例1、例2均以求方程的根为基础.很多学生对解决例1和例2的方法步骤是比较清晰的，但是却没有得到最后结果.经过调查分析我们发现，主要问题在于学生不会计算高次方程的根.下文就方程求根问题，结合线性代数知识列举几种方程求根方法.

1整系数多项式的有理根

2利用行列式的性质寻找根

3直接利用三次方程的通用求根公式

3.1将一般三次方程转化为不完全三次方程

4结语

线性方程组在现实生活中的应用是非常广泛的，不仅可以广泛地应用于数学自身，还可以应用于经济学、统计学、工程学、计算机科学、物理学、力学、通信、航空等学科和领域，相关问题均可将问题转化为线性方程组求解.特征值与特征多项式也广泛地应用于数学自身，如，Fibonacci数列通项公式计算、矩阵高次幂的运算、二次型的标准化等，同时也应用于其他领域，如统计学中的主成分分析法.本文所介绍的三次方程求根方法为线性方程组解的判别、特征值的计算提供了更多途径，几种方法之间可以融合起来使用，且均可以应用到高次方程的求解，为我们奠定学习线性代数的基础.

【参考文献】

[1]北京大学前代数小组编，王萼芳，石生明修订.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019

[2]曾翔，王远清.线性代数[M].武汉：华中师范大学出版社，2020.

[3]马纪英，王宏，王潮.一般三次方程的代数解[J]。（剩余31字）