新高考模式下高中数学经典习题解析

【关键词】经典习题；高中数学；解题技巧

在当前新高考背景下，高中数学解题过程中，需注重培养学生的核心思维，结合社会热点设计多种形式的题目.针对当前高中数学解题现状，教师应依据新高考的具体要求，对各种类型的题目进行梳理与总结，得出题目正确答案.

例1设M=a2－5a+6，N=2a（a－2）+9，则有（）

（A）M>N.（B）M≥N.

（C）M<N.（D）M≤N.

解析结合题目中的条件，作差得到M－N=－a2－a－3=－a+122－114<0，所以M<N.

小结本题主要考查代数式的化简与大小比较，可利用作差法判断两个代数式的大小关系.解题时，需先计算两个代数式的差值，再分析差值的符号，进而判断两个代数式的大小＼[1＼].本题考查了二次式的展开与合并同类项等基础知识.在解答过程中，利用作差法计算出M-N=-a2-a-3，分析该二次式在整个实数范围内均小于0，从而得出M<N的结论.因此，正确答案是（C）.

例2设有一颗彗星沿椭圆轨道绕地球旋转，椭圆轨道的焦点处为地球，当彗星与地球相距m万千米和43m万千米时，地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别是π2和π3，求彗星和地球之间的最近距离.

解析本题结合具体实例，将实物图象与椭圆的概念相结合，对数学基本概念进行探讨.在解题过程中，需充分运用相关数学知识，增强实际解题与运用能力.在充分审题的基础上，挖掘题目中的隐含条件，在解题中培养数学思维品质.

解如图1所示，构建平面直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆方程为x2a2+y2b2=1.

直线与椭圆的长轴夹角为π3情况下，结合椭圆的几何意义，彗星A满足∠xFA=π3（或∠xFA′=π3）.

作AB⊥x轴于点B，

则FB=12FA=23m.

结合椭圆的第二定义，

有m=caa2c－c①，43m=caa2c－c+23m②，

两式相减可得13m=ca·23m，

所以a=2c，

代入①式得m=12（4c－c）=32c，

所以c=23m，

所以a－c=c=23m.

因此，彗星与地球的最近距离为23m万千米.

小结结合天体运行规律，彗星绕恒星运行的轨道可近似为椭圆，恒星位于椭圆的一个焦点上，椭圆的两个焦点对应的彗星位置中，一个是近地点，另一个则是远地点，两点到恒星的距离分别为a－c、a+c.解题时，将这些条件代入相关公式进行计算，即可得出最终的答案.

例3如图2所示，在平面xOy内，已知定点P（－3，0），动点Q，R分别位于x，y轴上，满足PR·RQ=0.如果点M满足条件：QM=2MR.

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）如果直线l：y=kx（k>0）与点M的轨迹C所围成区域的面积为9，求k的值.

解（1）结合题目条件，设M（x，y），Q（x1，0），R（0，y1），

则QM=（x-x1，y），MR=（-x，y1-y）.

结合QM=2MR，

有x－x1=－2x，y=2（y1-y）.

所以x1=3x，y1=32y.

因为P（-3，0），

得出PR=3，32y，RQ=3x，－32y.

因为PR·QR=0.

所以9x－94y2=0，

所以y2=4x.

（2）解方程组y=kx，y2=4x，

有x1=0，y1=0或x2=4k2，y2=4k，

因此直线l和轨迹C的交点坐标是（0，0），4k2，4k，

得出∫4k20（2x－kx）dx=9，

若F（x）=43x32－k2x2.

因此F（x）′=2x－kx，

得出F4k2－F（0）=9.

有434k232－k24k22=9，

323k3－8k3=9，

k=23.

结语

在当前新高考背景下，高中数学解题教学需坚持创新思维，秉持“以学生为本”的理念，从促进学生理解的角度设计解题环节.教师在引导探索问题的过程中，可以促进学生深入理解题目要求，这一过程需满足当前课程教学改革的实际要求.学生在具体解题过程中，需通过深入思考，将所学的课程理论知识与题目相结合，在实践中促进学生把握课程知识内容。（剩余493字）