瓜豆原理"之应用

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“瓜豆原理"是一种主从联动现象.在这样的现象中，常会有一个定点、两个动点.解答时，要有轨迹思想，首先弄清楚主动点的轨迹，再弄清楚主动点与从动点之间的关系，最后，弄清楚从动点的轨迹.用到的数学知识包括平移、旋转、位似这些变换.“瓜豆原理”经常出现在压轴题中，下面分类说明这种原理在解题中的应用.

1“瓜豆原理”之平移

瓜豆原理之平移，不仅要求学生找出瓜豆原理中的定点、主动点与从动点，且要求学生充分利用平移变换的性质，即平移前后的两个图形对应线段平行、对应角相等，再利用平行线的性质，得到同位角相等或内错角相等，然后，利用等角的同名三角函数值相等，将等角的三角函数值进行转移，从而解决问题.

问题1如图1，直线 4与两坐标轴分别交于点 A，B 两点，且 C（1，0） ，点 P 是该直线上一动点，点 Q 是点 P 向右平移一个单位长度得到的，求 CQ 的最小值.

图1

分析：因为点 P 向右平移1个单位长度后得到点 Q ，而点 P 的运动轨迹是直线 y= 3x+4，根据平移前后图形的形状与大小不变，得点 Q 的运动轨迹就是将直线 x+4向右平移

1个单位长度得到的直线 QE ，即直线 ，即直线 y= 如图2，作OG⊥QE于点 G ，根据垂线段最短原理，CQ 的最小值是就垂线段 α 的长，在 RtΔAOB 中 OA=3，OB=4，AB=5 ，于是可得 ，所以 生.又因为CE=3，所 （20 （204号以 故 CQ 的最小值是

图2

点评：本题的两个动点，点 P 是主动点，点 Q 是从动点，所以它们的运动轨迹是一样的形状与大小，只是位置不同，所以在使用瓜豆原理的过程中，找出从动点的运动轨迹是最重要的一步.本题在求 OG 的长度时，使用了“导角”的方法，也就是将等角的三角函数值从一个三角形导入另一个三角形中，它实质是三角形相似，这种方法在求线段的长度时常会用到.

2“瓜豆原理"之旋转

瓜豆原理之旋转，不仅要求学生找出瓜豆原理中定点、主动点与从动点，且还要求学生充分利用旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角.当旋转角是直角时，得到等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质，可以构造“一线三直角"的全等模型；当旋转角是60度时，得到等边三角形，利用等边三角形的性质可以构造“一线三锐角"的全等模型，从而解决问题.

问题2如图3，点 A 是双曲线 在第一象限上的一动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B ，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC ，点 c 在第二象限，当点 A 运动时，点 c 也随之运动，但始终在一函数图象上运动，求这个函数的表达式.

图3

分析：由题意，知图3中的点 A 是主动点，点 B，C 是从动点，其中点 c 是目标点；图中似乎没有定点，但仔细观察可以发现线段 AB 经过的点 O 始终没变，所以原点 o 是一个固定点.如图4，连接 OC ，由于ΔABC 是等腰直角三角形，且 OA=OB ，根据等腰直角三角形的性质，得 OC=OA ，且 ∠AOC=90∘ 这样一来，点 c 可以看作是由点 A 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 得到的，根据旋转不改变图形的形状与大小，因为点 A 在双曲线的一个分支上运动，所以点 c 的运动轨迹也一定是双曲线的一支.如何求点 c 所在双曲线的解析式呢？也就是要建立点 c 横坐标与纵坐标之间的方程，此时可以设点 c 的坐标为 （x，y） ，因为 ΔABC 是等腰直角三角形，所以此时应构造“K字型全等”如图4所示，分别过点 A，C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E，D ，易证 ΔCOD≅ ΔOAE（AAS） ，所以 CD=OE= y，OD=AE=-x ，所以点 A 的坐标为 （y，-x） .又因为点 A 在双曲线 上，所以把点 A（y，-x） 代入 即 所以点 C 的运动轨迹对应的函数解析式为 1 （x<0） 。（剩余1465字）