以解题能力为核心的初中数学解题教学研究
打开文本图片集
以解题能力为核心的初中数学解题教学研究
祁莉莉（甘肃省陇南市西和县北川初级中学 742100）
【摘要】解题是初中数学教学的重点内容，教师应培养学生的解题能力，发展其解题思路，以便学生能应用更有效、可行的方法解答数学问题.本文以培养学生的解题能力为核心，简要分析学生如何应用解题策略解答各种问题.
【关键词】解题能力；初中数学；解题策略
1 思路探究，提高学生的逻辑推理能力
例1 如图1所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q.求对角线AC的长度.
思考 结合此题中的已知条件，AD=DC=DB=p，能够发现点A、B与C都在半径为p的圆D上.所以根据圆的性质能够发现AC与p、q的关系.
详解 结合图1，画出以点D为圆心，半径为p的圆，延长CD与圆D交于E点，将AE相连接.
发现点A、B与C都在半径为p的圆D上.
因为AB∥CD，
所以BC=AE=q.
在△ACE中，∠CAE=∠90°，CE=2p，AE=q，
所以AC=CE2－AE2=4p2－q2.
讲解此题时，重点分析解题条件并与结论相连接，引导学生了解固定点线段相等［1］.通过将固定点相连，形成一个辅助圆，可以帮助学生更快速、顺利地解题.虽然一些问题看似与圆的知识没有联系，但从题目中的条件、结论可以看出，其与圆的性质有关，深入分析题目也会发现与圆的性质相关的信息.依据给出的条件构建辅助圆，能够简化原始问题，使其转换成与圆相关的题目，再利用圆的相关知识和定理，能让学生快速、准确地解题，也能开拓学生的解题思路，让其通过其他角度分析、思考数学问题.
2 灵活应用公式，培养学生的创新思维
例2 已知a－b=b－c=35，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca的值.
思考 要想求得ab+bc+ca的值，需要从题目中的已知条件入手，分别计算a、b、c的值，再代入公式求解.这一方法虽能得到问题的答案，但计算量相对较大.此题还可借助完全平方公式，根据给出的条件整体代入，能够更简单、快速地得到答案.
详解 已知条件：a－b=35，b－c=35，
将两个公式相加，可以得到a－c=65，
所以（a－b）2+（b－c）2+（a－c）2=（35）2+（35）2+（65）2，
依据完全平方公式，可以得到
2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ca）=5425，
所以ab+bc+ca=－225.
此题主要考查学生对完全平方公式的理解及应用，根据题目给出的已知条件、未知条件，合理构建3个完全平方差等式，可以快速得出问题的答案.通过这一过程，学生的解题思路更加清晰且具有较强的创造性，有利于学生举一反三解决类似的习题［2］.解题过程中，学生需要明确各条件间的联系，发散思维，总结题目的解题方法，再不断对比选出解题难度低且计算准确性高的方法，从而更好地培养学生的创造思维.
3 利用解题思想，开拓学生的解题思路
例3 已知，△ABC中，点O到△ABC两边AB、AC所在直线的距离相等，并且OB=OC.求证：AB=AC.
思考 结合题中条件，要想求证AB=AC，应先确定点O在三角形中的位置.根据题意进一步分析，点O在三角形中的位置可以有三种情况，求证时需要对点O的位置逐一讨论.
详解 （1）如果点O在BC上，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，如图2.
则OD=OE，∠ODB=∠OEC=∠90°，
在Rt△BOD与Rt△COE中，
因为OD=OE，OB=OC，
所以Rt△BODRt△COE，
可得∠B=∠C，AB=AC.
（2）如果点O在△ABC内部，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图3.
则OD=OE，∠ODB=∠OEC=∠90°，
在Rt△BOD与Rt△COE中，
因为OD=OE，OB=OC，
所以Rt△BODRt△COE，
所以∠DBO=∠ECO，
因为OB=OC，
所以∠OBC=∠OCB，∠ABC=∠ACB，
所以AB=AC.
（3）如果点O在△ABC的外部，过点O作OD⊥AB的延长线于D，OE⊥AC的延长线于E，如图4.
则OD=OE，∠ODB=∠OEC=∠90°，
在Rt△BOD与Rt△COE中，
因为OD=OE，OB=OC，
所以Rt△BODRt△COE，
所以∠DBO=∠ECO，
因为OB=OC，
所以∠OBC=∠OCB，∠DBC=∠ECB，
可得∠ABC=∠ACB，
所以AB=AC.
否则，如图5，AB≠AC.
解答此题时，需要讨论三种情况，在第一种情况中，基于斜边直角边定理可以证明两个三角形全等，再结合全等三角形定理，可以得到∠B=∠C，AB=AC.第二种情况中，通过作垂直线，可以按照第一种情况的解题思路证明AB=AC.第三种情况中，通过证明两个三角形全等，再基于等角的补角相等得到AB=AC.解题过程中，一些题目存在很多问题或条件，结合问题条件、要求分类并逐一解决问题，能够帮助学生更好地掌握解题思想，从而开拓学生的解题思路，这不仅有利于学生准确、有效地解答数学题，还能发散其思维，进而提高学生的解题能力。（剩余212字）