二面角背景下最值题的解法探究

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解答二面角背景下的最值习题，需要对二面角的概念、范围、性质有清晰的认识与理解，能够准确确定不同情境下的二面角.同时，根据题意及几何图形的性质建立二面角与已知条件、要求解问题的联系，将立体几何问题转化为平面几何问题，以达到顺利解题的目的.

1体积最值问题

求体积是高中数学立体几何的常考问题，尤其是求体积的最值兼顾立体几何中角、线、面的关系及体积计算公式的考查，综合性强，具有一定难度.求立体几何图形体积的最值时，应结合题意确定影响体积最值的因素，从而针对性地发力.如借助向量的坐标运算，确定参数之间的关系，明确参数取何值时空间几何体的体积最大.

例1在如图1所示的四棱锥 P -ABCD中， PA⊥ 平面AB-CD ， ∠BAD=90∘ ！ BC//AD 为四边形 ABCD 内（包含边界）的一点，且二面角Q-PD-A的平面角的大小为 ，若点 M 为 PC 的中点，则四棱锥 M- （2ADQ 体积的最大值为（ ）.

图1

4 B. D.1 3

解析：建立空间直角坐标系，如图2所示.

设点 Q（x0，y0，0）， x0∈ [0，4]， y0∈[0，2] ，且 x0+ （20 y0⩽4

点 P（0，0，2），D（4，0，0） A（0，0，0） .易得 m=（0，1，0） （204号为平面 PAD 的一个法向量.

图2

易得 ，

.设平面 PDQ 的一个法向量为 （204

n=（x1，y1，z1） ，于是可以得到 即（20号

令 x1=1 ，可得 z1=2，y1=

4-xo，则n= ，于是有

整理，得

因为点 M 为 PC 的中点，则点 M 到平面 ADQ 的距离为1.要想四棱锥M-ADQ的体积最大，则 SΔADQ= AD·yo=2y。（剩余1884字）