关注一道切线考题的多解探究

打开文本图片集

利用导数的几何意义处理有关曲线的切线问题是近几年高考中的常考点，应引起我们的重视.基于此，以2020年全国Ⅲ卷理科第10题为例，笔者尝试通过多解探究，以帮助学生巩固基础，拓宽解题思维视野，提升核心素养.

1考题再现

若直线 ξl 与曲线 和 都相切，则l 的方程为（ ）.

2试题分析

本题侧重考查直线与曲线相切问题，涉及直线的方程、圆的方程、幂函数的图象与导数的几何意义在解题中的综合运用，具有一定的创新性，难度适中，能够充分体现"在知识点交汇处命题”的高考命题指导思想，具有较好的选拔性与区分度，故值得关注、学习！

3多解探究

思路一：由于直线 l 与曲线 相切，且函数 极易求导，因此可考虑导数的几何意义，先写出直线 ξl 的含参方程，再利用直线与圆相切的充要条件（圆心到直线的距离等于圆的半径），即可顺利获解.

解法一：设直线 ξl 与曲线 相切于点 .对 求导得 则 所以直线 ξl 的方程为 ，即

于是，根据直线 l 与圆 相切，可得 ，两边平方整理得 5x02-4x0-1=0 ，解得 x0=1 ，或 舍去）.

所以直线 ξl 的方程 x-2y+1=0 ，即 故选：D.

思路二：由于直线 l 与圆 相切，所以可考虑如下结论在解题中的灵活运用.

常用结论：圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 上点（x0，y0） 处的切线方程为 .y+y。（剩余1530字）