构造旋转中心，妙解几何问题

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摘要：旋转变换是几何图形的基本变换之一，在中考数学中有着广泛的应用.解决此类问题时，如果能抓住图形的某些几何特征，借助旋转变换，往往能巧妙地构造出辅助线，从而顺利找到解决问题的路径，最终为提升学生数学核心素养奠定基础.

关键词：旋转相似；旋转中心；四点共圆；尺规作图

初中几何涉及图形变换的内容主要包括平移、对称和旋转.其中，旋转变换是几何三大变换中最难的一种，也是每年中考数学重点考查的知识.例如，2023年南京中考数学第27题，就是一道非常典型的突出考查旋转变换的压轴题，对学生的空间想象能力和逻辑思维能力有着较高的要求.

本文主要探讨解决初中几何复杂问题的一种构造旋转中心的几何变换方法，从而帮助学生深入理解几何图形的性质及数学原理，为培养学生的几何空间想象能力和逻辑推理能力搭建好一座桥梁.

1回顾旧问题

学生在八年级下学期，已经学过旋转中心的作法.具体的问题与作法如下.

问题如图1所示，已知线段AB绕某一定点旋转至线段A′B′，请用尺规作出旋转中心点P.

分析：旋转中心到每组对应点的距离相等，即PA＝PA′，PB＝PB′，则点P是线段AA′、BB′的垂直平分线的交点.

作法：如图2所示，连接AA′、BB′，作这两条线段的垂直平分线，交点P即为旋转中心

2提出新问题

由旧问题出发，平面内有两条长度不等的线段，是否可以通过旋转变换的方式得到，继而找到它的旋转中心呢？

经过探索发现，两条线段可以通过旋转变换得到，且旋转中心可以确定位置.画出草图，分析图形特点，发现通过尺规作图，可以作出旋转中心，具体的问题与作法如下.

问题如图3所示，已知线段AB绕某一定点P旋转并缩放得到线段A′B′，请用尺规作出旋转中心点P.

分析：如图4所示，延长BA、A′B′交于点M.由旋转性质，易得△PAB∽△PA′B′，则∠BAP＝∠B′A′P，所以∠PAM＋∠B′A′P＝180°，所以A、M、A′、P四点共圆，即点P在三个定点A、A′、M的外接圆上.同理，点P也在三个定点B、B′、M的外接圆上，则两圆交点即为点P.

作法：如图5所示，过三点A、A′、M作外接圆，过三点B、B′、M作外接圆，两圆交于点P，即为所求.

特殊地，当这两条线段处于某些特殊位置时，点M的存在情况需要讨论，对此进行特例分析：当AB∥A′B′时，易得点M不存在；当M与已知一点重合时（如图6），此时点M与点A重合，则只能作出B、B′、A的外接圆，

那如何确定点P呢？

由旋转角相等，得∠APA′＝∠BPB′＝180°－∠BAB′.

因为∠BAB′为定角，所以∠APA′为定角，则点P可作.

3例题探究

通过以上探究，旋转中心位置的确定可形成一种基本尺规作图的方法，那么这种方法能否解决相关几何问题.以2023年辽宁省大连市九上期末数学卷第27题为例，通过以上方法来继续探究.

问题如图7所示，在△ABC中，当∠A＝60°时，点D、E为AC、AB上的点，CD＝BE，∠CED＝30°，若BC＝7，CE＝5，则线段ED＝            。（剩余902字）