仅在引力下物体在天体内径向运动的一题多解研究

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质量均匀分布的球体对其外质点的万有引力及引力做功可根据简单的积分求解，也可得到球体外任意一点的引力势能.但对于球体内运动的物体所受引力做功及球体内引力势能的大小涉及很少.前不久我校模考试题中出现了该类问题，笔者用几种方法来分析这道题目.

1 原题再现

某星系中的星际物质，主要分布在半径为2R的球体内，球体外仅有极少的恒星.可近似认为球体内质量分布是均匀的，平均密度为 ρ .以星系中心为坐标原点 O ，沿某一半径方向为 x 轴正方向，建立坐标系如图1所示.引力常量为 G ·

图1

（1）已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，若有一质量为 ψm 的探测器位于坐标轴处，求探测器受到星系内物体的万有引力 F 随 x 的变化规律；

（2）若质量为 m 的探测器从 x=R 处以一定的初速度沿 x 轴做远离中心的运动，恰好可以运动到球体边缘，忽略探测器与恒星及星际物质的碰撞，求探测器的初动能.

解析 （1）星系内半径为 x 的球体质量 Mx= ，整合后得

第二问解法多样，下面笔者进行一一分析.

2 平均力做功法

由上问可知 F∝x ，则探测器运动至球体边缘的过程中平均力 ，根据动能定理有 ，解得 Ek=2πρGmR2 ·

3 简谐运动法

根据对称性可知：当飞行器在星际物质中心 O 时，关于 O 对称的任意两质点对其引力等大反向，故飞行器在星际中心万有引力零.其在 x 轴上受力 πGmx，与距O点距离成正比，其比例系数 ，受力方向与偏移 O 点位移方向相反，此时飞船所受引力充当它在 x 轴上绕 O 点附近运动的回复力，飞船在 O 点附近沿 x 轴做简谐运动，O 为平衡位置，其振幅为 2R .简谐运动能量守恒，在x 轴任意位置均有 保持不变.简谐运动总能量 ，飞船在 R 处总能量 与在 2R 处能量 相等，整理后得 ，将 k 代入后得飞行器在R 处动能 Ek=2πρGmR2

4 引力势能法

在阅卷时笔者发现有同学用引力势能法分析.设无穷远处为零势能点，物体仅在引力做功时动能和势能之和保持不变.但对于引力势能的公式的使用并不正确，很多同学以为在球体内部表达式与外部表达式相同，均为E。（剩余1154字）