中学数学·高中版

2024年10期

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放缩法化繁为简，构造招变难为易 摘要：本题以三角函数与对数型函数为载体，通过函数型不等式的证明、函数极值点的研究考查函数与导数的基本知识和性质、数形结合等数学思想以及具体问题具体分析的思维本质.一题多解只是起点并非终点.本文中先对题目进行溯源，然后重点揭示该题多种解法背后...

课程思政融入高中数学课堂教学的实践与思考 摘要：教育制度改革的不断深入对教师的教育教学提出了更高的要求.在高中阶段，数学作为一门重要的学科，不仅可以提高学生的逻辑思维能力，还可以帮助学生更好地解决生活中面临的问题.本文从高中数学课堂教学现状入手，基于课程思政在高中数学课堂中的渗透作...
在知识最近发展区教学拓宽视野提升思维品质 新教材中有许多内容“点到为止”，或在教材正文中，或在习题和阅读材料中.这些知识模块在解题中有时可以起到化难为易、化繁为简的作用，使得问题解决具有简捷性、创新性，是培养学生思维能力的重要途径.更重要的是，在形成知识模块的过程中培养学生从特殊到...

基于STEAM理念的高中数学跨学科教学 摘要：高中数学跨学科教学是现代数学发展的趋势，为推动融合教学的发展，本文紧扣STAEM教育的其他理念，即基于真实情境的问题解决、关注学生的综合实践体验、注重培养创新意识，进行跨学科教学研究.研究发现，新教材中有丰富的跨学科教学资源，但需要教...
线上线下深度融合的高三数学复习课探究 摘要：“O2O”教学模式可以拓展教学的时间和空间，丰富教学资源，推进个性化教学的发展. 针对线上线下深度融合的高三复习课探究，教师结合艺术生的学习现状，根据“O2O”教学模式的基础理论，将该模式融入高三一轮复习中，探索适合学生的线上线下深...
借力“坐标” 别有洞天 摘要：本文中结合实例，论述了借助“坐标”这一工具解决解三角形、立体几何等数学问题，化繁为简，优化解题过程，降低思维难度.解题过程中，体现了数形结合等思想方法，培养了数学建模、数学运算等数学核心素养. 关键词：坐标运算；数形结合；数学核心素养...
明晰运算对象，提升核心素养 摘要：文章以一道解析几何题为例，着重从理解数学运算对象这个环节入手，谈培养和提升数学运算素养的做法和思考. 关键词：运算对象；运算素养 1 问题提出《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确将数学运算列为数学学科六大核心素养之一，并指出...
基于RMI原则的函数图象变化教学 摘要：RMI原则（关系映射反演原则）所强调的转换思想是数学中的一种重要思维.对于高中数学学习中的重难点函数y=Asin（ωx+φ），使用RMI原则，在动态几何软件的支持下，对函数y=Asin（ωx+φ）进行多重表征，帮助学生理解参数A，φ，...
2023年全国甲卷理科第17题解法的深度探究 摘要：高考试题越来越呈现出解法的多样性，从而满足不同层次水平的学生用不同的方法解决.文章通过对2023年高考数学全国甲卷第17题进行解法的深度探究，不仅为学生备考数列高考题目提供解法的参考，还为学生提供数列备考方向的参考. 关键词：高考数学...
生长数学理念下“函数的对称性”教学设计与思考 卜以楼老师提出的生长数学的教学主张在数学教学中产生了较大反响，掀起了广大一线教师的生长数学教学热潮.生长数学教学是指以数学的知识结构、思维方法、重要思想的形态、方法与生长过程，来构建数学课堂的系统、样态、思维的生长活动.生长数学以“数学教学...
基于“生本”理念的“一题一课”教学实践探究 摘要：三角函数是高考中每年必考的内容，其中的“给值求值”问题更是屡见不鲜.本文中以“三角函数中给值求值问题”为例，通过“一题一课”的课堂教学模式，充分提取教材中的典型例题、课后习题等素材进行“再加工、再整合”，开展探究活动，落实生本理念，从...
深度学习视角下转变学生学习方式的课堂教学 摘要：“深度学习-单元教学”的核心思想是实现学生学习方式的转变.文章结合案例，在一个知识单元内通过整体规划，设计让学生学习方式从“学会—会学习—自主学习”转变的系列课.同样，在一节课内也可以分层推进，设计活动，实现学生学习方式的转变. 关键...

深度理解教材发展学生核心素养 最近两年来，笔者阅读各种数学杂志，发现有不少文章是关于单元教学设计的，现在有关“单元整体建构教学的实践与思考”的理论研究也日趋增多.学习新课标、研读新教材、把握新高考、设计新课堂的理念在教师群体中蔚然兴起，新教材的显著变化也彰显出教材编写方...
统计图表创新题中的数据分析素养 图表信息题是涉及题设条件或结论中包含有图表及其对应信息的试题.用图表形式提供信息，与以往通过单一文字叙述等方式提供信息相比较，往往有更加直观、信息量大、数量之间关系明确等优点，成为近年高考数学命题的热点之一.此类问题一般以真实的生活实例为情...
培养学生逻辑推理能力的几点建议 摘要：逻辑推理是高中生应具备的一种基本思维品质，它的发展水平直接影响着学生的数学水平.在实际教学中，教师要认真研究教学内容，通过创设教学情境、动手操作等活动让学生体验逻辑推理过程，以此培养学生的逻辑推理思维.同时，教师要引导学生亲历猜想、观...
结合一道高考题谈学生建构思维能力的培养 1 建构思维能力的内涵建构思维能力涵盖了以下主要能力（图1）：①问题分析与理解能力.这包括识别问题的关键因素、目标和约束条件，以及理解问题在实际背景下的意义和影响.②抽象与建模能力.这种能力使他们能够用数学语言和符号系统化地表达问题，形成...
拓思维，激活力，赢高考 基本不等式作为解决最值问题的主要工具之一，常与数列、函数、解三角形、直线、圆锥曲线、不等式恒成立（有解）等知识相交汇.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能.利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活...
圆锥曲线切线问题的探索与推广 摘要：关于圆锥曲线的切线问题一直是高中数学非常常见的一类问题，对其性质结论进行研究，发现可以得到过圆锥曲线上定点的切线、切点弦等满足固定方程，利用这一结论，可以有效解决圆锥曲线的切线问题，有很强的的普适性，能够大幅提高相关问题的解决效率. ...
数形结合在数学教学中的应用 在数学教学过程中，教师总是把记住绝大部分知识的任务加到学生身上.因为无论是对数学概念的理解、对数学公式的推导、对数学定理的证明，还是对实际问题的解决，都离不开数学记忆能力，所以，不断加强数学记忆力，对学好数学、运用数学都非常重要.而“数”和...
理解运算对象，优化运算策略 摘要：解析几何往往涉及复杂的运算问题，解题时需要充分理解题意.而要实现高效正确的解答，就要抓住问题的本质，探究合理的运算策略.本文中以高二复习课上一道双曲线习题为例，引导学生分析问题中的显性条件和隐性信息，侧重于强化运算策略的选择，达到优化...
一道双变元代数式试题的探究 涉及“双变元”或“双参”的综合应用问题，是基于双变元所对应的函数、方程或不等式等的应用，是近年高考数学试卷中的一个基础知识点与基本考点.此类综合应用问题，借助函数与方程、函数与不等式、函数与导数等方面的综合与应用，结合双变元之间的变换与设置...
平面向量中极化恒等式及应用 摘要：极化恒等式是数学中的常用公式，在向量内积的教学中扮演着重要角色.在理解极化恒等式的表达式的基础上，分析其在解决平面向量数量积问题、界定数量积取值范围以及探求数量积最值等实际问题中的妙用.通过引入情境、引导发现、强化练习和拓展应用四个环...

指向核心素养的高中数学作业分层指标体系研究 摘要：本文旨在优化数学分层作业设计研究中作业分层依据，注重学生核心素养的发展.采用德尔菲法确定作业分层指标体系为数学核心素养、问题情境、知识含量、推理能力、运算水平、阅读量等6大因素，并确定18项二级指标.利用层次分析法获得各级指标的权重，...
基于高考“四层”评价体系的高考数学试题透视及教学启示 2 试题分析 2.1 必备知识高考之于对数运算的考查的必备知识主要包括： ①对数的基本概念； ②对数的运算法则； ③对数方程与不等式； ④对数与指数的关系； ⑤对数函数的图象与性质； ⑥对数与指数的应用； ⑦常见对数与自然对数. 上述真题...
从2024年全国数学新高考Ⅰ卷看课标的指导价值 摘要：本文中通过对2024年全国数学新高考Ⅰ卷的分析，明确指出了数学教学应当紧密围绕课程标准，并提出了四个有针对性的教学建议. 关键词：数学教学；课程标准；新高考；数学素养；教学策略自从教育部考试中心在2020年1月发布了《中国高考评价体...
基于高考评价体系的2024年新高考Ⅱ卷压轴题分析及教学启示 1 理论概述高考数学评价体系是我国高考评价体系中的重要组成部分，旨在全面、科学地评估考生的数学能力和素养，以满足高等教育选拔优秀人才的需求. 高考数学评价体系的评价核心： ①基础性：强调数学基础知识和基本技能的掌握.基础性是高考数学评价的...
基于SOLO分类理论的2024年新高考Ⅰ卷第11题分析及教学改进 1 SOLO分类理论 SOLO分类法理论的含义是“可观察的学习结果结构”（Structure of the Observed Learning Outcome），其英文缩写为“SOLO”.该理论认为：我们难以对学生的认知水平和认知结构进行直...
基于教育目标分类理论的2024年新高考Ⅰ卷导数题的分析及教学启示 1 理论概述布鲁姆（Bloom）在1956年首次提出“教育目标分类学”.该理论为研究教学应当达到怎样的层次以及如何推动学生的认知和知识水平的提高提供了理论依据.修订后的布鲁姆教育目标分类理论的认知领域由原先的一个维度发展成为两个维度的教学...
一道导数改编题的命制 摘要：函数的单调区间、曲线的切线方程及参数范围的求解一直是高中数学的热点问题，求参问题更是一大难点.在用导数研究函数参数问题时，解题方法更是灵活多变.本文中以一道高考真题的改编为例，浅谈解决此类问题的基本思路和方法. 关键词：编题；范围 ②...
一道试题的探究与思考 摘要：一道大联考试题的缺陷引发了探究的兴趣，该题复杂的几何关系与繁琐的代数运算让考生止步，不对称几何关系使得运算不对称，导致韦达定理的常规运用失效，探究为使试题变得合法合理，变换条件与结论使试题灵活生动. 关键词：缺陷；不对称；合法合理；灵...
2024年新高考卷立体几何解答题的分析及对作业命制的启示 2 试题特征分析 2.1 相同点分析（1）空间关系的综合考查新课标Ⅰ卷中的四棱锥P-ABCD涉及到点、线、面之间的垂直与平行关系，考生需要灵活运用平行和垂直的定义与性质对空间图形的三维位置关系进行合理推导.新高考Ⅱ卷的题目则通过对平面四...
高中数学结构不良试题考查功能分析及应对策略 2 考查功能结合高考评价体系来看，从知识、能力、素养、价值四个层面分析试题，有助于全面理解其教育意义与评估功能.知识是解题的基础，能力是知识运用的体现，素养是学生在长期学习中形成的综合思维与态度，而价值则反映了试题对学生人格、社会责任感等...

构造法在高中数学解题中的应用 摘要：构造法作为高中解题教学极其重要的思想方法，可以将抽象的数学知识直观化、具体化.应用构造法不但可以提升解题的速度与正确率，还可以透过问题本身把握数学知识的本质.本文中基于数学高考题的解题困境，通过借助构造法应用的解题思路探究，给出一些见...
利用“飘带”函数不等式探究2023年天津高考导数题 每一年的高考试题都是命题者的呕心沥血之作，无论从命题的角度、难度、方向等，都经过深思熟虑：既要考查知识，又要兼顾能力.而每一道题目又是出题人命题思路和思想的表达，具有典范性和权威性，高考本身就有强大的引导性，要掌握高考“风向”和高考脉搏，我...
圆锥曲线中“非对称”韦达定理处理策略 摘要：直线与圆锥曲线综合问题的解题核心思维是联立直线方程和曲线方程，将问题和条件转化为韦达定理进行处理；但有些问题不能完全转化为韦达定理，称之为“非对称”韦达定理结构.本文中以2023年新课标Ⅱ卷第21题为例，探讨韦达定理“非对称”结构的处...
2023年数学新高考Ⅰ卷第12题的探究 高考是学生人生中的第一次大考，关乎着人生的走向，所以高考试题的变化牵动着亿万学生及家长的心.2023年数学新高考Ⅰ卷的第12题对正方体、球、棱锥、圆柱进行了综合考查.其中D选项难度较大，而且在网上给出的答案中，对D选项的说明是：圆柱高度可以...
一道平面向量高考题的解法探究 摘要：高考作为高中课程教学的“指挥棒”，高考数学真题蕴涵的数学思想方法具有较高的研究价值，因此有必要研究历年高考经典真题，引领平时的课堂教学.而平面向量在高考数学中占有一定的地位，尤其是在解决立体几何相关问题时，向量作为一种工具，威力无穷，...
探寻本源，守通求妙，思变拓展 老子《道德经》的第二十八章：“知其雄，守其雌，为天下谿；……知其白，守其黑，为天下式；……知其荣，守其辱，为天下谷.” 数学教学与学习，离不开数学解题与研究，往往也离不开以上的精髓，数学解题研究的“三步骤”为探寻本源、守通求妙、思变拓展. ...
巧方法应用，妙类比拓展：一道椭圆题的应用 圆锥曲线间由于其特殊的关系，往往在一些相关问题上具有一定的类比性与拓展性.借助其中某一圆锥曲线的相关性质、结论，进行深入分析、探究拓展，往往可以得到有效的类比与拓展，给深度学习与创新应用创造条件. 1 问题呈现（2024年河南省信阳高级中...
2024年高考数学全国甲卷理第12题的多视角解法及拓展 摘要：涉及直线与圆的位置关系的综合应用问题，一直是高考中比较常见的基本考点之一.结合一道高考数学真题，借助问题的创新设置，从不等式思维与直线系思维等不同视角切入与应用，多思维层面切入，多技巧视角应用，探究破解问题的思路与变式拓展，指导数学教...
几种常用构建函数的技巧方法 摘要：构建函数来解决一些函数或方程、代数式、不等式等相关问题，是函数应用的一种基本解题意识与技巧方法.结合题设条件以及函数、不等式等的结构特征，从不同思维视角合理构建函数，进而转化为函数问题来处理，思维巧妙，策略得当，总结规律，指导数学教学...
一道多变量最小值问题的多解探究 多变量最小值问题，因其含有的变量个数较多，从而导致解题难度较大.因此，关注此类问题的多解探究，有利于帮助学生不断提高变形的技能与技巧，沟通相关知识、方法在解题中的灵活运用，进一步提升数学运算与逻辑推理核心素养. 好题采撷已知a，b，c&g...
参变量融合，绝对值转化 绝对值不等式是初、高中皆有的内容，涉及不等式、函数等相关知识，备受命题者的青睐，时常在高考试题中“闪亮”登场.而以绝对值不等式为命题场景，合理融入其他复杂的函数模型，实现知识点之间的巧妙交汇，创新新颖，成为新高考命题与应用的一个基本点. 1...
一类双变元代数式最值问题的多解探究 摘要：涉及双变元代数式的最值（或取值范围）问题，命题设置场景丰富多彩，变化多样，可以有效考查考生的“四基”与“四能”，成为高考数学命题中比较常见的一类基本考查类型.借助一道模拟题中最值的设置，通过函数、不等式等场景巧妙创设，借助变量最值的求...
一道平面向量试题的多角度破解方法 摘要：涉及平面向量的数量积的最值（或取值范围）问题，是高考命题中比较常见的一类热点问题.结合一道平面向量数量积问题，根据题设的应用情景创设，挖掘问题的本质与内涵，合理选用与之相应的思维技巧与策略方法来分析与处理，总结解题思维方法与技巧规律，...
基底几何坐标，破解向量问题三要素 摘要：平面向量数量积的求值或最值（或取值范围）问题是平面向量模块知识中的重点与难点之一，破解此类问题有一定的基本策略与规律可循.结合一道高考真题，通过平面几何图形，结合平面向量数量积的常规技巧方法加以展开与应用，归纳总结解题策略与规律，指导...
一道圆的综合试题的深度探究 摘要：涉及圆的综合应用问题，一直是高考中比较常见的基本考点之一.结合一道高考数学模拟题，合理挖掘题设条件与背景，借助不同思维视角的切入与应用，多技巧方法应用，多视角变式拓展，从不同层面探究破解问题的思路与变式拓展，指导数学教学与解题研究. ...
动点轨迹，串联立体几何与解析几何 摘要：立体几何中的轨迹及其应用问题在历年高考题中时有出现，是高考中一道亮丽的风景线.结合一道立几轨迹题，合理沟通平面与立体，“动”与“静”相结合，从不同思维视角切入与应用，归纳并总结解题技巧与策略方法，合理变式与拓展，指导数学教学与学习. ...
依托高考真题，挖掘教学价值 在新教材、新课程、新高考的“三新”背景下，“解三角形”是基于平面向量的一类基本应用问题，又是平面几何的“形”与三角函数的“数”巧妙融合的一类数学综合问题，可以巧妙联系初、高中阶段的数学基础知识，交汇高中阶段中的不同知识模块，成为充分落实新课...
基于超几何分布与二项分布的最值问题例析 实际应用场景下的概率最值与综合应用问题，是概率与统计模块考查的一个基本方向.特别地，基于超几何分布与二项分布的最值与综合应用问题，一直是高考命题的基本考点与应用点，要引起高度重视. 1 超几何分布中的最值问题例1 某校参加某次大型考试时采...
圆锥曲线最值（取值范围）问题的应对策略 涉及圆锥曲线中的基本元素、关系式、代数式等的最值（或取值范围）问题，立足圆锥曲线的基础知识与基本能力，成为高考命题中的热点与难点题型之一，能有效考查考生的数学“四基”与“四能”，具备较好的高考选拔性与区分度，备受各方关注....
一类解三角形试题的多解探究 涉及三角形中三个内角所对应的三元三角函数关系式问题，巧妙将三角函数、解三角形、函数与方程、不等式、函数与导数等相关知识加以交汇与融合，实现数学知识之间的交汇与数学关键能力的融合，成为高考数学命题中比较常见的一类热点与难点.此类问题可以从三角...

探究数学拔尖人才的培养途径 摘要：自2008年以来，丘成桐中学科学奖已经连续举办了十五年.作为一项面向高中生的科创比赛，吸引着全国乃至全球各大高中的积极参与.中国教育报的这次采访，通过追踪获奖学生发展轨迹、指导教师参与感受，探究了数学拔尖人才的培养途径. 关键词：丘奖...
高考数学复习的“三段论” 本文中结合实际，在新高考数学复习过程中进行“三段论”的复习与备考，借助三个不同的阶段与案例展示，对有效进行复习提供一点个人看法. 1 强化落实“四基”目标高考数学复习的第一阶段就是强化数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验这“四基...
中国古代几何学欠发达的原因研究：文化哲学的视角 摘要：中国古代几何学欠发达的原因主要有四个方面.空间观念已经被主观化或情感化或艺术化，而不是理性化、客观化或科学化；古人对物体的位置、形状不是太重视；古代社会分工不是太发达，导致了学科门类的划分不精细，古人一个世界的观念也造成了几何学没有从...
“5E”教学模式在“函数的零点”教学中的应用 数学概念是学生的认知基础，是数学思维的逻辑起点，是学生学好数学的关键.在高中数学教学中，教师应重视概念教学，引导学生通过独立思考与合作探究深刻地理解数学概念的内涵及外延，以此实现数学概念的深度学习.不过，在高中数学概念教学中存在一些问题，比...

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