基于函数凹凸性命制的高考数学导数试题本质研究

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摘要：凹凸性是刻画连续函数性质的重要工具之一.文章从高中学生认知水平的实际出发，在介绍了函数凹凸性相关定义和定理的基础上，对近年基于函数凹凸性的高考数学导数试题进行示例分析和解题本质研究，以期为一线教师的解题教学和高考备考提供参考和启示.

关键词：凹凸性；高考数学；导数；试题本质

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2023）33-0069-03

美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）曾说：问题是数学的心脏，数学的真正组成部分是问题和解[1]；数学作为一门研究规律的学科，毫无疑问数学解题教学有其内在的属性和规律，而这个属性与规律就是数学解题的本质[2].

凹凸性是刻画连续函数性质的重要工具之一，不仅在高等数学中具有广泛的应用价值，同时也是高考数学试题命制的热点[3].回顾近年高考试题发现，基于函数凹凸性命制的高考数学试题频频出现，但由于普通高中数学课程标准并没有对函数的凹凸性做具体要求，相关性质在高中数学内容中又分布得较为隐蔽和零散，导致学生不会以整体的视野去统整相关的内容，更难将该思想方法顺利迁移到相关的解题中去.因此，函数凹凸性的“学考分离”现象成为高中数学教学和高考备考中一个不容忽视的问题.

为此，笔者从高中学生认知水平的前提出发，在介绍函数凹凸性相关定义和定理的基础上，对近年基于函数凹凸性的高考数学导数试题进行示例分析和解题本质研究，以期为一线教师的解题教学和高考备考提供参考和启示.

1 预备知识

定义设f（x）为定义在a，b上的连续函数，若对a，b中任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为a，b上的凸函数；反之，如果总有f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为a，b上的凹函数.

定理[4]设f（x）为定义在a，b上的二阶可导函数，则在a，b上f（x）为凸（凹）函数的充要条件是f ″（x）≥0（f ″（x）≤0）.

2 “ f（x）≤kx+b（或≥）”型导数试题的分析与结论

例1（2017年高考全国Ⅱ卷文科数学第21题）设函数f（x）=（1-x2）ex.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求实数a的取值范围.

解析（1）略；（2）因为f（x）=（1-x2）ex，所以f ′x=ex（-x2-2x+1），

进而有f ″x=-ex（x2+4x+1）<0在［0，+

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）上恒成立。（剩余3260字）