Gronwall Bellman不等式及其 在双时滞微分系统中的运用

摘 要：本文运用推广的GronwallBellman不等式研究分数阶双时滞微分系统的有限时间稳定性.首先，通过适当的积分变换将GronwallBellman不等式在整数阶双时滞积分系统中进行推广.其次，利用所得结论，并结合Hlder不等式、Minkowski不等式、Jensen不等式以及换元法等方法将GronwallBellman不等式推广到分数阶双时滞的积分系统中.最后，运用上述所得结论，研究分数阶双时滞微分系统的有限时间稳定性.

关键词：GronwallBellman不等式；分数阶RiemannLiouville积分方程；时滞；有限时间稳定性

中图分类号：O175.13

自1919年Gronwall积分不等式诞生以来，Gronwall积分不等式在常微分方程、偏微分方程解的研究及估计上起着极其重要的作用［1］.

时滞系统在实际生活中的应用范围非常广泛.一方面，它在建筑结构、神经网络、工业水处理、冶金工业等系统中都十分常见.另一方面，在网络系统下，处理数据以及传送数据也能引发系统中时滞的产生［24］.此外，稳定性问题也是分数阶微分方程的研究中一个重要的问题［57］.

为了使Gronwall不等式更好地运用于实际问题，本文将GronwallBellman不等式与时间延迟联系起来，以便解决多时滞的积分不等式相关问题.

1 预备知识

为了方便，记区间J=［t0，T］，0t0<T.

定义1［8］：（有限时间稳定性）对于带有时滞的Caputo分数阶微分系统cDαtx（t）=f（t，x（t），x（t-τ）），t∈J，x（t）=φ（t），t0-τtt0.若满足ε>0，δ∈（0，ε），当‖φ‖=supt0-τtt0‖φ（t）‖δ时，有‖x（t）‖ε，t∈［t0-τ，T］，则称上述系统对于{δ，ε，T}是有限时间稳定的.

引理1［8］：（推广的GronwallBellman不等式）假设f，g∈C（J，R），且u∈C1（J，R），满足u′（t）f（t）u（t）+g（t），t∈J，u（t0）u0.

则u（t）u0e∫tt0f（s）ds+∫tt0g（s）e∫tsf（r）drds，t∈J.

引理2［8］：（Minkowski不等式）令1<p<∞，f，g∈Lp（J，R），则f+g∈Lp（J，R），且∫Tt0f（t）+g（t）pdt1p∫Tt0f（t）pdt1p+∫Tt0g（t）pdt1p，t∈J.

引理3［8］：（Jensen不等式）令k∈，且x1，x2……xk是非负的实数，那么∑kj=1xjqkq-1∑kj=1xjq，q>1.

2 GronwallBellman不等式在整数阶双时滞积分不等式中的推广

假设f（t）、g（t）、k1（t）、k2（t）、h（t）、u（t）是定义在J上的连续非负函数，φ（t）是定义在［t0-τ2，t0］上的连续非负函数，τ2>τ1>0.令m（t）=h（t）g（t）+k1（t）g（t-τ1），n（t）=h（t）g（t）+k1（t）g（t-τ1）+k2（t）g（t-τ2），p（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2），q（t）=h（t）f（t）+k1（t）f（t-τ1）+k2（t）f（t-τ2），M（t）=h（t）g（t），N（t）=h（t）f（t）+k1（t）φ（t-τ1）+k2（t）φ（t-τ2）.

定理1：若对上述函数满足u（t）f（t）+g（t）∫tt0h（s）u（s）+k1（s）u（s-τ1）+k2（s）u（s-τ2）ds，t∈J，u（t）φ（t），t∈［t0-τ2，t0］.

则当t∈［t0，t0+τ1］时，u（t）f（t）+g（t）∫tt0N（s）e∫tsM（r）drds；（1）

当t∈［t0+τ1，t0+τ2］时，u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds+∫tt0+τ1p（s）e∫tsm（r）drds；（2）

当t∈［t0+τ2，T］时，

u（t）f（t）+g（t）e∫tt0+τ2n（s）dse∫t0+τ2t0+τ1m（s）ds∫t0+τ1t0N（s）e∫t0+τ1sM（r）drds+∫t0+τ2t0+τ1p（s）e∫t0+τ2sm（r）drds+∫tt0+τ2q（s）e∫tsn（r）drds.（3）

注：具体证明可通过对t进行分类讨论，并结合引理1直接得出，在此不多赘述。（剩余4791字）