中学数学·高中版

2024年12期

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立足高考，总结方法，提升素养 1 题目呈现 2 分析与思维导图 2.1 第一问的分析 2.2 第二问的分析 3 试题解析 4 试题研究 4.1 （]从近四年的天津卷中平面向量题看高考复习不难看出，2020-2023这四年的高考天津卷中，平面向量这部分的题均出现在填空题...

基于教材对比的“幂函数”教学反思 摘要：不同教材对知识的处理大不同，人教版教材和湘教版教材是使用较为广泛的两套教材，在编写理念及特色上存在较大差异.本文中以“幂函数”教学为例，探究两套教材的差异，以期更有效地进行教学. 关键词：教材对比；幂函数；人教版；湘教版 1 问题提出...
基于教材例题探索三角形边的等分线 摘要：本文中以教材例题为起点，将中线交点问题变成三等分线和中线的交点问题，进一步拓展到任意分线，并利用向量知识深入探究此类问题，给出了任意情况下交点所分成的两条线段的比例，最后结合几何知识给出了直观解释，从数和形两个维度对该类问题进行了深入...

函数与方程视角，推理与直观结合 涉及高次函数的零点及其综合应用问题，是高考数学试卷中比较常见的一类常见题型.此类综合应用问题，设问新颖创新，形式变化多端，可以合理融入函数与方程思想、函数与导数应用等，交汇函数模块、导数模块中的基础知识，考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运...
“两径五步”创设情境，实现课堂有效互动 摘要：本文中研究的是在情境认知理论指导下，用“两径”法备课，实施“五步法”教学，在高中数学的教学中创设情境以及提出问题来引发课堂的有效互动.以实际抽象、比较类比、承上启下、借错设问等创设情境的方法对“投影向量”的教学片段展开分析. 关键词：...
以“四能”为指导，优化三角函数课堂教学 摘要：课堂教学践行普通高中数学课程标准基本理念，提升学生数学学科核心素养的着力点要从育人的高度设计教学，教会学生学习.结合目前三角函数教学中存在的问题，探索以“四能”为指导的课堂教学，从注重知识的整体理解、注重知识的生成、注重辩证思想、注重...
数学核心素养视角下单元整体教学实践 摘要：单元整体教学突出知识的整体性，脉络的统一性，内容的联系性，它将学科知识与核心素养有机地结合在一起，培养学生的综合能力.本文中以“平面向量数乘运算的坐标表示”教学片断为例，研究数学核心素养融入单元整体教学中的途径、方法及设计思路. 关键...
“构造函数解不等式恒成立问题”的专题设计 典型问题的解法具有极高的研究价值，适度总结推广可用于类型题的破解中.因此解法探究教学中，建议引导学生深入挖掘问题解法，提炼生成策略，再适度拓展变式，强化练习.下面整理“构造函数破解不等式恒成立问题”的教学微设计，以供研讨借鉴. 1 从问题解...
新高考背景下数学思想方法渗透于教学的思考 摘要：本文中以“向量工具解三角形中线问题”的教学设计为例，突出向量工具在解三角形中线问题中的优越性，浅谈函数与方程思想、转化与化归思想以及消元法在解组合三角形问题中的应用，突显数学思想方法渗透于教学的重要作用. 关键词：解三角形；向量；数学...
案例驱动的高中数学建模教学实践探索 1 真题再现及分析[KH-1] 某校兴趣小组在如图1所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动.若点M在矩形区域ABCD内...

立体几何教学中学生思维能力的培养研究 摘要：在高中数学教育中，立体几何教学是促进学生思维能力发展的重要环节，因此，教师应高度重视立体几何教学的设计，以核心素养理念为依据，优化和改进教学方法，落实素质教育要求.本文中基于数学核心素养理念的指导，针对学生思维能力的培养策略展开了分析...
巧借导数工具，妙解函数零点 摘要：借助导数这一基本工具分析与解决一些函数中的零点以及相应的问题，是新高考数学试卷中比较常见的一类综合应用问题.结合常见考查类型，以函数零点为场景，导数为工具，从函数零点存在定理入手，合理构建新函数，综合极限思维等方式加以综合分析与处理，...
三类函数图象的“对称中心”及应用 摘要：结合几则例题，通过归类解析的形式，着重说明三类常见函数图象的对称中心及其灵活运用，旨在帮助学生提高灵活分析、解决相关函数问题的能力，进而提升学生数学抽象、数学运算以及直观想象等方面的核心素养. 关键词：函数图象；对称中心；应用对于一...
关注两个切线不等式的解题应用 摘要：结合几则例题，分类讨论两个切线不等式的应用，以提高学生的解题能力，发展学生的数学思维，培养学生的核心素养. 关键词：切线；不等式；应用；高中数学高中数学中，学习导数之后，易知曲线y=ln x在点（1，0）处的切线方程为y=x－1，从...
数学应用　服务社会 数学来源于现实生产、生活实际，又反馈应用于现实生产、生活实际，促进科学技术发展与进步，推动社会不断快速前行.而新高考数学试卷中，通过关注社会热点、渗透生产与生活实际、引领科学技术发展、与其他学科融合等方式，巧妙创设问题，合理数学建模，创新实...
“同构”视角下求数列的通项公式 摘要：学生对求数列通项公式的方法并不陌生，但很少会从“同构”的视角来重新审视求数列通项公式的方法.文章通过两个题目不仅介绍了求数列通项公式的常规方法和“同构”解法，还对两种方法进行了对比，并梳理了“同构”解法的解题步骤，为拔尖学生开拓数学思...
“隐圆”的魅力 摘要：通过充分挖掘高中数学教材，结合“隐圆”的分析与深入探究，系统理解并掌握与之相关的基础知识，进而结合实例，剖析“隐圆”在解题中的应用类型与方式，总结应用的妙处与破解技巧，展现优质教学价值，体会“隐圆”的无穷魅力. 关键词：隐圆；教材；习...
半角公式的巧妙灵活应用 结合三角函数的二倍角公式，合理恒等变形，可以用单角α的三角函数式表示半角α2的三角函数式，即为三角函数的半角公式.三角函数的半角公式在实际解答三角函数问题中有着很大的应用. 1 回归教材，构建公式 2 考题呈现，巧妙破解 3 思路总结，特别...
例析数形结合直观突破向量模长最值问题 摘要：数形结合思想非常契合于解决平面向量这一同时兼备“数”与“形”的数学问题.通过平面向量的模长最值（或取值范围等）问题的不同类型，结合实例剖析，就数形结合思想的应用加以分析，总结解题规律与技巧策略，帮助考生进行复习备考. 关键词：数形结合...
依托三角函数性质，巧妙突破参数ω 在三角函数的图象与性质中，参数ω的值或取值范围等的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，向来是我们复习中的难点.依托三角函数的图象与性质，特别是结合三角函数中对应的基本性质，从不同视角层面与思维角度创设来达到全面考查...
运用函数与方程求解数列问题 数列作为高中数学的重要内容，一直是教学的重点和难点.数列问题形式多样、解法灵活，常常让学生感到困惑.而函数与方程作为数学中的重要工具，与数列有着紧密的联系.将函数与方程的思想引入数列问题的求解中，犹如为解开数列难题找到了一把关键钥匙.函数的...
函数与方程、不等式三者的相互转化 在高中数学中，函数、方程与不等式是三个紧密相连且相互转化的概念.这种相互转化不仅体现在解题过程中，也贯穿于整个数学学科的理论体系中. 首先，函数与方程之间的转化是数学中最为基础和常见的.函数在特定条件下可以转化为方程f（x）=0，方程的解即...
数列的开放性问题例析 摘要：等差数列和等比数列基本量的运算，是高考必考内容，将题干的选择权交给考生，充分体现了能力立意和情境创新的要求，同时自主选择，也让部分基础薄弱的学生敢于尝试，激发做题兴趣，这种自主推断题甚至是开放题将成为新高考的热点.本文中以一道高考模拟...

高观点下一道圆锥曲线的试题命制 1 原创试题 2 试题命制过程 3 解法分析 4 试题解答第一问学生存在的困难在于不能从新的情境中抽象出数学问题，知识的迁移应用能力还比较弱.第二问存在的问题是：学生不能准确地用代数式表达k1+k2，二元化一元时存在困难；忘记考虑斜率不存...
抓“四化”促进改革，话“创新”数学命题 摘要：研究历年高考数学试卷的命题特点与趋势，在一定程度上可以有效指导并引领高中阶段的数学教学以及高三阶段的复习备考.结合2024年全国高考新高考Ⅰ卷数学命题及其特点，从数学学科的核心价值综合化、必备知识主干化、关键能力深度化、思想方法普适化...
数学建模与数学文化驱动下的高中数学特色作业设计 摘要：在高中数学作业设计中融入数学建模与数学文化已成为教育的内在要求之一.文章从问题探索与建模、数学文化传承、数学创新实验三个方面来设计高中数学作业. 关键词：高中数学；数学建模；数学文化；作业设计数学建模与数学文化驱动主要包括两层含义：...

2023年全国乙卷第20题的源题和变式推广 摘要：本文中主要简述2023年全国乙卷解析几何大题的命题背景、命题的源题和变式，探究中点弦问题和极点极线、调和点列的一些性质相结合的问题，得到一些推论. 关键词：极点；极线；调和点列；调和线束；中点弦；定点；共点纵观历年高考的解析几何大题...
一道高考真题的多角度解析及教学启示 解三角形问题是历年高考的基本考点之一，难度通常维持在中等档次，可能以选择题或解答题的形式出现.解决此类问题需要综合应用平面几何、三角函数、平面向量、基本不等式等相关知识，充分体现新课标中“在知识交汇点处命题”的指导思想.该类问题通常运算量大...
一道2023年全国Ⅰ卷高考题引起的联想 摘要：带你走进数学联想的世界，探寻2023年全国Ⅰ卷的第20题与2022年全国Ⅰ卷的第17题藕断丝连的蛛丝马迹，沉浸式体验参数发现的愉悦历程. 关键词：一题多解；同构；异构；变式；参数数学联想是沟通各数学知识点之间的桥梁，利用好这座桥梁，...
对一道定值问题的探源与推广 摘要：本文中通过对一道全市期末统考解析几何问题的深入研究，对定值问题进行推广，从具体的椭圆到一般的椭圆，再到圆和双曲线.通过对问题的拓展探索和推理论证，提升学生数学运算和逻辑推理素养. 关键词：定值问题；定直线问题；推广结论解析几何中的定...
开放有序，创新无限 在新教材、新课标、新高考的“三新”背景下，高考数学命题进入新“风口”与新“赛道”，命题寻求谋新、谋变、谋真、谋活，坚持开放创新，借助举例问题、存在问题、结构不良问题、多选问题等开放创新问题的巧妙引入与灵活设置，坚持数学核心素养导向，倡导数学...
一道九省联考离心率试题的探究 圆锥曲线（椭圆或双曲线）离心率的求值或最值（或取值范围）问题，往往可以很好融合平面几何、解三角形以及平面向量等内容，交汇函数、方程、不等式以及三角函数等代数变量，契合“在知识交汇点处命题”的理念；同时又是多种数学思维方式与技巧方法应用的重要...
一道二模试卷中代数式最值试题的探究 摘要：涉及平面解析几何场景下的代数式的最值（或取值范围）问题，是高考试卷中的一个创新点与难点所在，常考常新，变化多样.结合一道代数式最值问题的求解，挖掘代数式的结构，从不同思维视角切入，借助不同技巧方法解决，开拓学生的解题思路，指导数学教学...
巧思维展开，妙视角变式：一道解三角形题的探究 在新教材、新课程、新高考的“三新”背景中，解三角形是基于平面向量的一类基本应用问题，平面几何的“形”与三角函数的“数”二者巧融合的一类数学综合问题，可以巧妙融合初中、高中阶段的数学基础知识，交汇高中阶段中的不同知识模块之间的联系，成为充分落...
2024年新高考Ⅱ卷第17题的探究 1 真题呈现 2 多种讲题策略分析 2.1 以“知识点整合与迁移”为核心的讲题策略老师：同学们，今天我们来讲解2024年新高考Ⅱ卷第17题.它的特点是对基础知识的整合和灵活运用，涉及到线面位置关系向量运算和二面角的计算.我们先看第（1）小...
间接思维设角参，直接思维设边参 基于圆锥曲线的场景设置与综合应用，借助离心率的求值与最值（或取值范围）问题，通常是高考命题中的一个热点问题，场景创新，形式多变，常考常新.此类问题能够巧妙立足平面解析几何场景，合理融合函数与方程、平面几何、平面向量与解三角形、三角函数、不等...
2023年高考乙卷椭圆“定点”问题的多解探究 摘要：对2023年全国乙卷理科圆锥曲线解答题第二问进行多思路探究，结合多种不同解法，帮助学生进一步理解、认识处理此类“定点”问题的常用解题思维方法，进而不断提高学生直观想象、数学运算及逻辑推理核心素养. 关键词：2023年；高考；椭圆；定点...
一道导数原创题的解法探讨 摘要：通过对一道导数原创题的解法探讨，探析一类导数压轴试题的解题思路，即从分类讨论、分离参数、找必要条件等常规通法入手，通过运算变形与转化进行求解，力求让学生能够做到做一题而通一类. 关键词：高考数学；导数；解题思路 1 新题呈现 2 考查...
直线过定点问题的解法探究 摘要：以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，通过三种方法由浅入深地探索直线过定点问题的解法，并给出一般性的求解策略. 关键词：圆锥曲线；定点；直线系；分离参数法长期以来，解析几何是高考的必考点，常以运算量大、过程繁琐让人望而生畏，尤其是考查变...
形如y=Asin(ωx+φ)的函数图象互相转化的新方法 1 教材习题解法 2 一种不需要记忆的新方法 3 方法总结 3.1y=sin x和y=Asin（ωx+φ）图象间的转化 3.2 y=A1sin（ω1x+φ1）和y=A2sin（ω2x+φ2）图象间的转化 4 应用举例...
合理归类剖析，凸显方法引领 解析几何中的最值（或取值范围等）的综合应用问题是解析几何模块的一类重要题型，也是近年高考数学试卷中的热点题型之一.此类问题创新新颖，变化多端，解决问题的技巧方法多种多样，解题时要注意观察题设条件及结论，灵活选用相应的技巧方法与策略来切入与应...
由一道高考题体验角相等问题的多种证法 一题多解可以进一步拓宽解题思路，提高分析和解决问题的能力.本文中对一道高考试题进行多种解法研究，希望能在一题多解方面抛砖引玉，对发展学生数学核心素养起到引领作用. 1 题目 2 解法展示点评：此证法充分利用了两直线关于x轴对称则两直线的倾...
高中解三角形中常见三类问题的方法探究 摘要：解三角形是教学的重点之一，也是高考考查的重要内容.文章结合教学实践，基于试题分析了高中数学解三角形中常见三类问题的方法，为数学教学提供参考. 关键词：角平分线；中线；高线;解题方法在高中数学教学和高考试题中，解三角形占据重要地位，解...
归纳类型，诠释应用：基于复合函数的零点问题 复合函数的零点及其综合应用问题，是基于函数与方程的基础知识，结合函数的零点知识加以渗透，同时融合函数中的相关概念与综合应用，充分体现了函数与方程思想、数形结合思想以及化归与转化思想等，能够很好地考查化归与转化、数形结合、逻辑推理以及分析问题...
专题突破：探究解三角形中最值问题的四种方法 在高考中，最值问题通常作为中高难度题目出现，是考查学生数学素养和综合能力的重要内容.解决该类问题常见的四类方法包括：构造函数法、基本不等式法、辅助角公式法、数形结合法. 1 构造函数法适用情形：已知三角形的边和角，通过构造辅助函数并利用边...
一道新颖的向量数量积试题求解 作为平面向量模块知识中最为重要的基本知识之一，平面向量数量积成为近年高考试卷中常见常新的基本考点之一.在实际求解平面向量数量积的综合问题时，借助平面向量“数”与“形”的双重属性，抓住数量积自身或“数”的应用，或“形”的特征，并结合不同的应用...
融合物化生知识的高中数学试题及命题启示 1 试题及分析 1.1 高中数学融合生物知识试题 1.2 高中数学融合物理知识试题 1.3 高中数学融合化学知识试题 2 知识融合试题的特征分析 2.1 跨学科知识融合高中数学指数型函数试题中融入物理、化学、生物知识的一个显著特点是跨学科...

念奴娇·直观想象与空间思维 摘要：几何体由点、线、面构成，点线面就是空间几何形式的DNA.立体几何是建立在形象化、逻辑化的公理化体系基础上的，四个公理就是立体几何大厦的基石，学生对几何的入门学习，学好公理就是为建造几何大厦奠基.基于公理，抓住是否共点，可以演绎出各种位...
压轴题应回归数学素养的本质 高考真题和课本习题是命题专家对学生学科素养的考核，数学压轴题教学应回归数学素养的本质.高考数学压轴题具有综合性和创造性特点，要求学生面对复杂、新颖问题时，能灵活地运用相关知识，恰当地进行思想方法迁移.压轴题能很好地考查学生思维的灵活性和创造...
基于高考导数考查的深度解析与备考策略 在新教材、新课标、新高考的“三新”大背景下，数学教学与复习备考必须更加脚踏实地，合理地进行课堂教学与复习备考，切实有效地落实教考衔接. 1 高考导数考查的深度解析 1.1 导数试题如何考近年来，高考中导数的考查主要集中在几个方面，通过不同...
指向核心素养的“解三角形”单元教学实践探索 实现对数学学科核心素养的培养与提升，是基于数学教学与学习过程中的一个指导与目标意识，那么在高中数学单元教学过程中如何加以实施，能够更加有效提升并培养数学核心素养，促进学生的全方位发展呢？本文中以“解三角形”为例，依托新教材、新课程、新高考的...
新课标下的立体几何备考建议 1 课程标准中该模块知识的解读高中数学课程标准中关于该模块知识的阐述：立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系. （1）本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；（2）用数学语言表述有关平...
导学案在高中数学教学中的应用探讨 摘要：随着新课改如火如荼的开展，在高中数学教学阶段，结合导学案进行教学，能够进一步转变僵化的教学模式，做到以学生为主体，引导学生加强学习探究与合作能力，激发学生在数学课堂上的积极性，使课堂教学实现提质增效.同时在利用导学案进行教学时，教师会...
导学案在苏教版数学教学中的应用探索 在高中数学课堂中，导学案应该始终贯穿其中，不仅要用在课前预习，而且还要运用到课中新课的讲解以及课后复习中.课前导学案重点在于引导，课中则以情境类、互动性为主，课后复习中注重查漏补缺，形成系统化的教学过程，具体见图1所示.本文中分析了导学案在...
高中生文献阅读与数学写作教学实践研究 摘要：新课程背景下要重视高中生文献阅读和数学写作能力的培养，依据学习规律进行文献阅读与数学写作教学实践，以此提高学生的数学文化素养和核心素养.以普通高中教科书数学人教A版选择性必修第二册的“微积分的创立与发展”为例，通过教学内容及内容解析、...
基于试题情境评价外显指标体系的试题分析 1 理论概述结合“评价体系”和“课程标准”的要求和前人的研究成果，确定试题情境评价外显指标体系主要包括三个方面的内容：情境类型、情境呈现方式、情境开放度. 1.1 情境类型数学情境是教学中构建的与数学概念和方法紧密相关的情境，旨在帮助学...
高中数学应用线上+线下教学的实践探究 随着计算机技术的发展，各个领域在计算机的辅助下都提升了效率，教育行业也不例外.随着《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020）》《教育信息化2.0行动计划》等文件的出台，明确指出教育信息化离不开计算机技术的支持，这为高中数学开展...
高中数学教师说题教研案例 数学作为一门重要的学科，对于培养学生的思维能力具有重要的作用.然而，在实际教学中，特别是讲解数学题目时，教师往往会面临一些挑战和困扰.同时，学生往往在理解和解题过程中会遇到困难，常常出现错误和误解.因此，高中数学教师有必要开展说题教研活动，...