球极投影下的Hopf纤维化

摘 要：Hopf纤维化是代数拓扑中经典的构造.它在理论物理学方面的应用十分广泛.例如：11共振（The Onetoone Resonance）、刚体的运动、磁单极子的势场、两态量子系统的Bloch球面（Bloch Sphere）表示、广义相对论里TaubNUT空间的全局结构以及庞加莱群（覆盖群的）的零质量螺旋度表示等.为了理解此构造，本文通过球极投影给出了Hopf纤维化的几何直观.并且在此基础上利用计算机软件画出了部分的Hopf纤维化.此外，由于在文献［1］中Thurston给出了Hopf纤维化的诸多结论，但缺少证明.本文给出了相关结论的详细证明.

关键词：Hopf纤维化；球极投影；纤维丛

1 概述

记Sn为欧氏空间的单位球面.1931年，Hopf构造了S3到S2的映射，即Hopf映射，引发了对纤维与同伦群的研究.其构造了一个特殊的纤维化，且任意两个纤维之间的环绕数1，证明了Hopf映射不同伦于常值映射.随后他证明了同伦群π3（S2）是由Hopf映射生成的无限循环群，表明三维球面到二维球面映射的同伦类有可数无穷多［2］.1933年，Hopf利用同调对于n维多面体到Sn进行完全分类（Hopf分类）［3］.

从同伦的观点看，Hopf证明了同维数球面Sn到自身的连续映射由其映射度唯一决定，这标志着同伦论的诞生，Hopf是同伦论奠基者之一，第一个从拓扑角度来研究同伦论［4］.1935年，Hurewicz在定义同伦群的概念时受到Hopf的影响.后来，Freudental在Hopf与Hurewicz的研究基础上证明了Hopf分类的完备性.且他发现了悬垂映射，从此同伦论成为拓扑学中一个热门.

Maurício等人［5］研究了Hopf纤维化的推广，即Hopf流形，他们证明Hopf流形上余1维的非奇异分布是可积的.杨永举等人［6］对Hopf流形进行了推广，利用流形上流和万有覆叠理论，构造了Hopf流形上的一个叶状结构.并且证明了某类Hopf流形上不存在闭的（1，1）阶微分形式.

2 预备知识

在这一节中，我们回顾了纤维丛，纤维化与复射影空间P1中元素的表示.纤维化是覆叠空间的推广［7］，是拓扑学中重要的概念之一.纤维丛的理论，是1946年由美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出的.

定义1：如果满的映射P：E→B，满足同伦提升性质，则称P为纤维化.其中B被称为底空间，E被称为全空间，Y为任意拓扑空间.同伦提升性质为任给一个拓扑空间Y，以及交换图，存在一个h使得下面的图表中可交换［8］.

任取B中一点b，b在P下的原像被称为b点的纤维.如果底空间B是道路连通的，可证明B中两个不同点b1和b2的纤维是同伦等价的.

纤维丛是比纤维化更强的一种结构，Hopf纤维化不仅是一个纤维化，而且是一个纤维丛.为了进一步理解Hopf纤维化，在此处引入纤维丛的定义.

定义2：一个纤维丛是由四元组（E，B，π，F）构成，其中E，F是拓扑空间，B是连通的，B被称为丛的底空间，F被称为纤维，π为投影映射。（剩余3447字）