中学数学研究

2023年11期

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《中学数学研究》创刊于1980年，是由江西师范大学主管、江西师范大学数学与信息科学学院主办，《中学数学研究》主要介绍中国... 展开

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大概念视角下数学习题教学的实践及反思 1.引言数学课堂教学是生成数学核心素养的重要载体，也是落实新课程改革理念的重要环节，而习题教学是中学教学活动中重要的课型之一，是评价教学效果的重要方式［1］.然而重视习题和习题教学并不意味着继续遵循当前的习题操作模式.当前习题教学普遍存在...
立足学生本位发展学科素养 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，在《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）中，对“圆锥曲线的方程”做了如下学业要求：能够根据不同的情境，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运...
问题驱动类比迁移生长思维 《义务教育数学课程标准》（2022版）指出：体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题．基于此，数学课堂教学要以培养学生发现...
例探初中生符号意识形成路径 七年级是从小学的算术思维向用字母表示数形成代数思维的启蒙期，八年级则是学生符号意识形成的关键期.从学生认知能力来看，八年级学生抽象能力迅速发展，已经基本能够借助符号进行形式化演绎推理；从学习内容来看，轴对称图形（线段、角、等腰三角形）和中心...
问题驱动精彩生成 近日随堂听了一节内容为求函数值域的二轮复习课．执教老师首先给出一道例题：求 y=x+1x的值域．学生们随后就说这题太简单了并迅速给出答案为（－∞，－2］∪2，+∞．当时课堂气氛很是热烈，其中一位女同学站起来说：老师，求值域有很多方法我们前面...
优化解题反思提升核心素养 解题中，学生常常出现考虑不周、浅尝辄止等现象，教师应有意识地引领反思，促使他们形成解题反思能力，发展其数学思维品质，以有效提升其核心素养．本文结合笔者的教学实践，就引领解题反思在提高数学核心素养上的意义和作用作一阐述，以飨读者. 1.引领错...

为什么我连“解三角形”都不会？ 为什么我连解三角形都不会？”这是近期听到学生抱怨最多的一句话．原本十拿九稳的“解三角形”问题，在近几年的高考、模拟考中也变得不那么容易了，与“解三角形”相关的解答题的得分率较之前普遍低了很多．在高三复习阶段，尽管进行了大量的“解三角形”的讲...
“四析”一道极值点偏移问题 极值点偏移问题以导数为背景考察学生运用函数方程思想、数形结合思想、转化化归思想解决函数问题的能力，是值得深入探究的课题，更是培养学生数学核心素养的好素材. 在文［1］中，笔者基于基本函数模型lnx+λx，建立与之相关的一个定理，并衍生出与其...
由一道高考题的解法引发的思考 随着新课程标准的实施，新教材在全国各地的广泛使用，实行新高考的省市在不断增加，一些立足“四基”，发展“四能”，体现“素养”的创新试题将陆续出现在新高考试题中，现以2022年全国新高考Ⅱ卷12题为例，本文从不同视角对该题进行剖析，指出试题以“...
多视角剖析一道离心率质检题 离心率是解析几何中的重要知识，近年高考及质检试题频频出现求解离心率的值或取值范围问题.这类问题常考常新，学生解决该问题有一定难度.一般求解策略为利用圆锥曲线的定义或几何特征寻找基本量间的关系，进而解决离心率问题.［1］本文从多个角度对202...
曲线系方程在求解圆锥曲线定值定点问题中的妙用 笔者在查阅近年的解析几何高考解答题中，发现对于圆锥曲线中定值定点问题的考察频频出现，只不过考察的形式往往不同，为此，笔者另辟蹊径，借助曲线系方程求解相关问题，发现很多问题都能迎难而解．...
一道测试题的求解、溯源与拓展 本题在无显性方程条件下，探求二元三角函数的最值问题，考查数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养，试题设计简洁清新，思维跨度较大，颇具综合性、挑战性和选拔性....

一个加强欧拉不等式的几何意义及应用 在文［1］中，作者得到了一个欧拉不等式的加强形式，即在△ABC中，Rr≥（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥rR+32. 再利用欧拉不等式我们可得到下面这个不等式链：在△ABC中，Rr≥（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥2≥rR+...
对一道课本习题的探究及推广 问题（人教版普通高中教科书（2019）数学A版必修第一册58页第10题）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种...
对一道高考题的分析与拓展 1.试题呈现（2022年高考数学新高考Ⅰ卷第22题）已知函数f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交...
三角形中线上点的性质及其空间推广 文〔1〕给出了三角形中线上点的性质及其空间推广，受此启发，经笔者研究后将文〔2〕中的性质加以推广....
一道椭圆模拟题的解法与结论推广 该试题考查圆锥曲线的综合应用，涉及的主要考点有：椭圆几何性质的应用，直线与椭圆位置关系及求最值等.第（1）小题，由于求的是角的余弦值，因而与三角函数、三角恒等变换知识或与向量运算紧密结合，体现知识间的相互渗透应用；第（2）小题，求两线段长度...
椭圆内接三角形的几个斜率定值 本文将给出与椭圆内接三角形三边所在直线斜率有关的几个美妙定值....
一道模考题的解法探究与推广 1 试题呈现（2023届安徽省“江南十校”联考21题）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆C1：x24+y2b2=1（0＜b＜2），双曲线C2是椭圆C1的“姊妹”圆锥曲线...
一道圆锥曲线质检题的探究 题（2022年福建省质量检测试题第21题）已知椭圆C的中心为O，离心率为22.圆O在C的内部，半径为63.P，Q分别为圆O上的动点，且P，Q两点的最小距离为1－63.（1）建立适当的坐标系，求C的方程；（2）A，B是C上不同的两点，且直线...

高等数学观点下寻根探源必要性的入手“点” 初等数学的有些问题需要在高等数学的理论里加以解释.数学家克莱因指出：“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内，才能深刻地理解.基础数学教师，应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了事务才显得明了而简单.”［...
对数平均不等式在高考中的应用 这是1957年奥斯特和特维尔格首次比较了对数平均与算术平均，给出了L（x，y）≤x+y2，它被称为奥斯特——特维尔格不等式. 设x>0，y>0，与算术平均和几何平均比较，则有xy<x－ylnx－lny<x+y2.我们...
例析函数思想在比较大小问题中的切入角度 大小比较问题信息简洁明了，但题目串联起各类函数、不等式等诸多知识点，可以考察学生转化、数学结合、构造等诸多能力，成为包括高考在内的各级考试中的热门题型.函数思想是解决此类问题的一个重要方法，本文就函数思想在比较大小问题中切入角度进行一些剖析...
例谈构造函数求解导数问题 在众多函数问题的求解中，大家比较熟悉应用导数去解决，通过求导把函数转化为方程进而求解.但在具体的操作中，面对不同的函数，直接求导再作分析遇到很大困难，以至于求完导便不知所措，找不到解决问题的方向.本文借助一些例题，分析在解决函数问题中通过构...
例谈三角最值问题 三角一直是高考的重点考察对象，解三角形中的最值问题更是高频考点，因为它易于和其他知识进行交汇，全面考察学生的数学素养，培养学生分析问题和解决问题的能力.解三角形是由已知的边角确定未知边角元素的过程．而正、余弦定理的作用就是将边角间的关系数量...
例析利用基底法解立体几何问题 在2019人教A版必修第二册中，向读者介绍了利用立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系；在选择性必修第一册中，又介绍了利用空间向量表示空间中的点、线、面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题.由此可见，对于立体几何问题，空间...
椭圆曲线中斜率之积为定值的解法探究 圆锥曲线定点、定值问题已成为高考或模拟考试中的重点考查对象，其求解过程往往涉及丰富的知识内容和灵活运用的数学思想.试题通过具体数据的巧妙设问，获取一些特殊结论，这些结论看似特殊，实则具有普遍性，此类试题的研究不仅能够抓住圆锥曲线的本质，还能...

仰观试题之高端，俯察教材之基础 《普通高中课程方案和课程标准（2017年版）》（下称“新课标”）作为当前教学的重要依据，立德树人作为核心素养发展的重要抓手，将在很长一段时间对考试命题与评价起到根本性的改变．考试对教学起到引导与反馈的重要作用，也是当前检测学生学习效能与核心...
一道2022年江西预赛试题的多解探究与变式 1 试题呈现若x，y，z>0，满足xy+yz+zx=1，则函数f（x，y，z）=xy+5+yz+5+zx+5的最大值为 . 分析：这是2022年全国高中数学联赛江西赛区的一道根式函数求最大值的试题.文［1］通过三种方法求得该函数...

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