导数在三角函数综合题中的应用

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中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号:1008-0333（2025)34-0089-03

三角函数是高中数学的核心内容，具有丰富的性质与广泛的应用背景.导数则是微积分中的重要工具，能深入揭示函数的变化规律，尤其在处理极值、单调性和最值问题时表现出强大功能.将导数应用于三角函数综合题，不仅能避免繁琐的三角恒等变形，还能拓展问题的解决路径，提高解题的严谨性与效率.近年来，高考及模拟试题中频繁出现导数与三角函数结合的题目，体现出这一综合方向的教学价值与考查趋势.本文选取2025年三道具有代表性的模拟题，分别从函数最值与参数范围、奇偶性与零点分布、极值点数列等角度展开分析，通过逐步推导展示导数的具体应用策略，旨在为教师教学与学生备考提供清晰的思路与方法支持.

函数最值与参数范围的确定

例1 (2025 年南昌模拟)已知函数 f(x)=sinx +mx(x⩾0)

(1)若函数 f(x) 的最大值为0，求 m 的取值范围；

(2)证明：当 x≥0 时,有 sinx-sin3x≥-2x

(3)若对任意 x⩾0 ,都有 ∣sinx-sin3x∣⩽ax 成 立，求实数 Δa 的取值范围

解析 (1)f′(x)=cosx+m ，注意到 f(0)=0 ，而函数 f(x) 的最大值为0,因此 f′(0)=1+m⩽0 所以 m⩽-1

当 m⩽-1 时 ,f′(x)=cosx+m⩽1+m⩽0 ，故f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减,

则 ，满足题意综上， m 的取值范围为

(2)由(1)得，当 m=-1 时，函数 f(x)=sinx- x 在 [0,+∞) 单调递减.又 3x⩾x⩾0 ,因此 sinx-x⩾ sin3x-3x 即 sinx-sin3x≥-2x 成立.

(3)因为 sinx-sin3x=sin(2x-x)-sin(2x+ ,则 ax⩾|sinx-sin3x|=2|cos2x⋅sinx|. 当 时， cos2x⋅sinx⩾0 ，则 ax≥2cos2x⋅sinx. 令 ，则 h′(x)=2cos2x⋅cosx-4sin2x⋅sinx-a. （20

因 h(x)⩽0 在 上恒成立,且 h(0)=0 ，则 h′(0)=2-a⩽0 ，即 a⩾2 下面证明 a⩾2 时， |sinx-sin3x|⩽ax 成立由(2)得 sinx-sin3x⩾-2x⩾-ax ，下面证明sinx-sin3x⩽2x ,即证明 sinx+x⩽sin3x+3x 令 ，则g′(x)=cosx+1≥0. （2因此 g(x) 单调递增.则 .即 sinx-sin3x⩽2x 成立.综上,实数 Δa 的取值范围为 [2,+∞) ：

2奇偶性、最值及零点分析例2（2025 年黑龙江哈尔滨模拟）记 f(x)= （204号

sinx,g(x)=cosx,F(x)=f2n(x)+g2n(x),n∈N*. (1)判断并证明 F(x) 的奇偶性;(2)设 F(x) 最小值为 an ，若 ,对任意

（2 n∈N* 恒成立,求 ∇m 的最小整数值 m0 ：(3)在(2)条件下,设 G(x)=m0f(x)-g(x) ，求

G(x) 在 [0,2nπ] ( n∈N* )上的零点个数并说明

理由.解析 (1)因为 f(x)=sinx,g(x)=cosx ，F(x)=f2n(x)+g2n(x), 所以 F(x)=(sinx)2n+(cosx)2n, 函数 F(x)=(sinx)2n+(cosx)2n 的定义域为 R ，

定义域关于原点对称，F(-x)=[sin(-x)]2n+[cos(-x)]2n=(-sinx)2n

+(cosx)2n=(sinx)2n+(cosx)2n=F(x), 所以函数 F(x) 为偶函数.(2)令 t=sin2x ，则 t∈[0,1] ， cos2x=1-t ，则

F(x)=(sinx)2n+(cosx)2n=tn+(1-t)n. （204设 H(t)=tn+(1-t)n,t∈[0,1] ，则 当 时 H′(t) H′(t)>0,H(t) 所以当 时，函数 H(t) 取最小值,最小值为

所以 F(x) 最小值为 所以 故 因为 ，对任意 n∈N* 恒成立,所以 m⩾2 所以 ∇m 的最小整数值 m0 为2.(3)由(2)知 m0=2 又 G(x)=m0f(x)-g(x) ，f(x)=sinx,g(x)=cosx, 所以 G(x)=2sinx-cosx ，因为 G(x+2π)=2sin(x+2π)-cos(x+2π)=2sinx

-cosx=G(x) ,所以函数 G(x)=2sinx-cosx 为周期

函数， 2π 为函数 G(x) 的周期.因为 G(0)=20-1=0 ,结合周期性可得 x=

2kπ,0⩽k⩽n,k∈N 都是函数 G(x) 在 [0,2nπ](n∈

（204号 N* )上的零点.当 0sinx

（204 cosx0 ,函数 G(x)=2sinx-cosx 在 (0,π) （2

上没有零点.当 时,2x >0，-1≤cosx≤0,所以

G(x)>0 5 G(x) 雞在難 上没有零点。（剩余7723字）