方格排列中的概率问题探究

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中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号:1008-0333（2025)34-0022-03

概率问题是高中数学的重要组成部分，尤其在组合排列与几何结构相结合的情境中，具有较高的思维价值.方格作为一种常见的几何结构，广泛出现在各类数学问题中，其排列与概率的结合不仅考查学生的计数能力，也考验其空间想象与逻辑推理能力.本文以一道典型的“方格中放置棋子”问题为切入点，通过三种不同解法展开探讨，旨在揭示问题背后的数学结构与方法选择之间的内在联系.进一步地，本文通过多个变式问题，拓展了方格概率问题的应用范围，涵盖颜色填充、数字排列、物品分配等多种情境，力求在方法与思想上为学生和教师提供参考，以提升对概率模型的理解与运用能力.

1 试题呈现

题目 (2025 年安徽合肥二模)如图1,在 4×4 的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为

图1 4×4 的方格

2解法探究

解法1 总情况有 C42×C42×C42×C42 种第一步;第一行任选两格放棋子, C42 种，第二步：第二行任选两格，看对应的列数

情形1：与第一行所选完全相同，则第二行1种情况，第三、四行1种情况；

情形2：与第一行所选完全不相同，则第二行1种情况，第三、四行 C42 种情况;

情形3：与第一行所选1列相同1列不相同，则第二行 C21×C21 种情况，第三、四行 C21 种情况

故概率为

解法2 设“每行都放置两枚棋子”为事件 A “每列都有两枚棋子”为事件 B ，则由条件概率知所求概率为

根据题意，每行都放置两枚棋子，即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有 C42 种方法，所以 n(A)

对于“每行每列都放置两枚棋子”，不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方格，此时第二行有 C42=6 种放置方法，则第三、四行的放置方法如图2~图7所示

图2情况1

图3情况2

图4情况3

图5情况4

图6情况5

图7情况6

图2有1种方法，图3，4，5，6各有2种方法，图6中，第三行有 C42=6 种放置方法，其选定方格后，第四行只有唯一的放置方法.所以总共有 1+2×4 +6=15 种方法.

因为第一行棋子有 C42=6 种放置方法，其他5种情况同理，故 n(AB)=6×15=90.

所以，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率

解法3构造基本元素如下：黑点处表示有棋子，其中 A 与 B,C 与 D,E 与 F 为互补型，需成对出现，如图8所示

图8构造互补型

总体安置方法数为 C42×C42×C42×C42=64 种目标安置方法数分类如下：

(1)2A+2B,2C+2D,2E+2F 型,共有 C42×3= 6×3=18 种；

(2) (A+B)+(C+D),(A+B)+(E+F),(C+B) +D)+(E+F) 型,共有 A44×3=24×3=72 种.

故所求概率为

3 变式探究

变式1如图9所示，有一个“九宫格"形状的

糖果盒子，现有三种不同的糖果（同种糖果不加区

分），每种3颗，若把每种糖果都随机地放到其中

的三个格子，每个格子只放一颗糖果，那么每一

列、每一行的糖果都是三种不同糖果的概率是）。（剩余6452字）