幂级数收敛半径的求解探讨

打开文本图片集

摘要：本文通过三个例子表明比式审敛法或根式审敛法是幂级数收敛半径计算的一个充分性条件，但非必要条件，在应用上有很大的局限性.综合使用比较判别法、逐项求导逐项积分不改变幂级数的敛散性、上极限计算以及柯西-阿达马定理等结论，可处理任意幂级数收敛半径的计算.

关键词：幂级数；收敛半径；上极限

高等数学作为大学数学的一门基础性学科，其有着高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，因此我们要通过对高等数学的学习，不断培养学生的创新思维、数学素养、独立思考问题和解决问题的能力［1］.

在高等数学中，有一类结构相对简单、应用非常广泛的函数项级数——幂级数［2］.对于幂级数的研究主要讨论其和函数的分析性质，以及将函数展成幂级数的条件和展开式，而本文主要讨论求幂级数的收敛半径和收敛域问题.在教材和教学活动中，侧重于介绍利用各种公式求解幂级数的收敛半径.无论是缺项的幂级数还是不缺项的幂级数，求收敛半径的本质主要是基于阿贝尔定理和正项级数的根式审敛法或者比式审敛法.本文从精选的几道例题出发，阐述常用的审敛法的局限性以及对应的解决思路.

1 求幂级数收敛半径的主要方法

2 应用举例

3 问题的延伸

结语

本文探讨的几个幂级数收敛半径的计算，是对常规计算方法（比式审敛法或根式审敛法）的一个有益补充，希望可以帮助工科学生更好地掌握这部分知识，培养同学们数学思维的严谨性，激发学生学习数学的兴趣。（剩余625字）