中学数学研究

2024年12期

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《中学数学研究》创刊于1980年，由江西师范大学主管主办，面向全国公开发行的科技期刊。《中学数学研究》主要介绍中国国内外... 展开

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立足问题引领促进深度理解 1.问题提出问题串教学是以问题贯穿整个课堂教学，让学生在思考问题、解决问题的过程中提高学习的动力，逐步形成良好的学习习惯，在教学过程中逐渐优化学习方法，提升了学习能力.数学是一门基础性的学科，数学教学就是通过发现问题，然后解决问题，最终促...
立足必备知识，探究问题本质 1.引言（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由. 一位学生与我讨论这道题的第（2）小问. 首先他认为不等式f（x）≥a是超越不等式，从函数的观点解不等式，应该是求函数的单调区间，找函数的零点，但这个函数好像没有零点，无...
“学历案”的设计应强调深度学习的落实 1.问题提出 “学历案”是依托于传统教学形式方案“教案”、“学案”、“导学案”等的优点，借助教师的合理编写与设计，巧妙融入学生自主学习的经历与过程．“学历案”正是在新课标、新教材、新高考的“三新”背景下，继承与发展了传统教学形式方案，是全面...
真题中找灵感探究中寻创新 命题活动是一项具有创新意义的活动，不仅能帮助教师对《高中数学课程标准》的深入理解，还可以促进教师更好的把握、理解教材及高考命题精神.本文介绍笔者参加的一次高中说题大赛时命制的一道试题，就其过程及思考，与同行交流探讨. 1.题目立意分析已知...
厘逻辑优方案寻本质凸素养 1.问题提出新高考评价体系明确，高考命题要从“知识立意、能力立意”转变为“素养立意”，这要求学生提出不仅会解题，还要明确为什么这样解题，并能够反思、总结、归纳，寻找简便科学的解题路径，即为解题中理清逻辑明确解题方向，优化解题方案，挖掘探寻...

对一道模考题的解法探究与本质思考 《普通高中数学课程标准》指出：高考命题应围绕数学内容主线，注重对学生数学学科核心素养的考查，注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧．函数是代数主线的核心内容，是各级各类数学考试命题的重点．2024年1月苏州市2023-2024学年第一学期学业...
公共边巧搭桥突破解三角形中组合四边形的最值问题 近年来，解多三角形问题经常出现在高中各级各类考试中，除了多见的“爪形”三角形相关问题外，组合四边形的面积和对角线的最值问题更为复杂，往往需要将正弦、余弦定理与三角恒等变换的知识充分结合，或结合平面几何的知识构造全等或相似三角形，将问题巧妙解...
一道双曲线背景二元函数模拟题的研究 许多高考数学试题或模拟题，往往是将几个模块的知识混搭命制，从而体现知识间的相互联系和融合，考查综合分析、处理问题的能力.本文研究的就是一道混搭型的高三数学模拟题. 1.试题分析本题是2024届山西省太原市高三年级模拟考试（二）第14题，是...
GGB助力探究一道解析几何题 1.试题呈现（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线PF1，PF2与椭圆E的另一个交点分别为A，B，问ΔPAB面积是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.（2024届巴蜀中学高考适应性月考卷（五）22） 2.试题延伸先...
解析几何中一类定值定点问题的探究性教学 笔者近期上了一节高三二轮复习解析几何专题观摩课．该课从教材中一道习题出发，通过多角度探究与变式，找到从教材习题通向高考试题的演变之路，总结了解析几何中一类定值定点问题的思考路径与解题规律，受到听课教师好评．本文是这堂课探究学习过程和教学反思...
一道抛物线背景最值题的解法与推广 1.试题呈现题目已知A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y2=8x上两个不同的动点，且满足y1y2=-16，则x1+y1+2+x2+y2+2的最小值为. 2.解法探析解法1：如图1，设弦AB的中点为M（x0，y0），则x1+x2...

一道不等式问题的两个推广 本题考查了代数恒等变形与不等式技巧.本文给出一般化的推广，以期发现新的命题. 评注：推广2相较于命题1在呈现形式上更为一般化，在证明不等式的过程中，恰当地使用常用不等式（如均值不等式、柯西不等式）是解决问题的关键，主体方向明确又不失灵活性，...
一个代数不等式的证明、加强、推广及应用 1.一个经典代数不等式及证明证法1：Σ表示循环求和.由柯西不等式得 2.①式的加强由上述证法3，可得到下面两种加强. 3.①式的推广结论4 设x，y，z为正实数，k≥1.则 4.①式的应用证明：如图1所示，设AE=AF=x，BF=B...
一道征解题的证明、最佳系数及类似 类比上述证明过程，笔者得到上述征解题的两个类似. 显然成立，故原不等式成立....
一道模拟试题解法探究与背景溯源 高考数学中函数与导数试题往往具有高等数学背景，设问精巧，将一元与多元、动态与静态、参数与变量、高等数学与初等数学知识相结合等特点，有助于提升学生的辩证思维能力.本文给出了一道模拟试题解法背后隐藏的高等数学背景. 1.试题呈现本题主要考查利...
高观点视角下对一道高三质检试题的溯源探究 1.试题呈现本试题是福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测卷第19题，是一道结构紧凑，背景丰富，综合性强的新定义试题．考查不等关系式、函数与方程、利用导数研究函数性质、数列求和等相关知识，考查考生化归与转化思想、推理论证能力...
一道解三角形高考题的拓展探究 解三角形是历年高考的重点内容之一，重点考查学生对正（余）弦定理、三角恒等变换、不等式等知识，以及数形结合、消元、换元等数学思想方法的灵活运用，同时注重学生逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养的考查． 1.试题呈现 2.解法分析 3.拓...
一个涉及三角形内外心几何模型的性质及其应用 1.性质及证明性质已知△ABC的外心为O，内心为I，且OI//BC，则cosB+cosC=1. 下面给出这个性质的三种证明. 证法1：如图1所示，连接OB，OC，IB，IC，过点O，I作BC得垂线，垂足分别为M，D.设△ABC的内切圆半...
一道椭圆试题的解法与结论推广 2023届湖北省七市（州）高三3月联合考试统一调研测试第21题蕴含着丰富的数学思想方法内涵，彰显数学学科素养，从深层次反映解析几何数学本质一道优秀试题，考查了数学运算核心素养及解析几何的图形问题代数化的本质.本文就该试题的解法、变式及推广进...
探究推广一道椭圆定点问题 圆锥曲线试题中，随着点或线的运动，整个题目体系中有关的点、线、斜率、距离、面积等跟着变化起来，运动中的几何特征与数值的不变性是教学研究与考试命题的重要素材［1］.基于此，结合［2］的思考方法，本文对2023年9月重庆一中高三月考解析几何的定...

对满足“abc=1”的不等式证明方法的研究 笔者梳理近些年初、高中各级各类数学竞赛不等式问题，发现有一类满足条件“abc=1”的不等式证明问题，难度不一.基于SOLO分类理论，笔者从通性通发的角度出发，选取12道典型问题，对该类不等式证明方法予以归类，现与读者分享、交流，以期抛砖引玉...
三角形中一类取值范围问题的求解 解三角形问题是高中数学的重点内容，也是高考常考题型.本文探究一道三角形中一类取值范围的求解问题，供参考. 1.问题呈现 2.思路探究 3.归纳小结事实上，这类问题还可以这样设置问题“求ΔABC周长的取值范围”，具体解题过程也可以用到这两种...
例谈概率加法与乘法公式证明一类不等式 本文通过具体案例，展示借助概率的基本性质，尤其概率的加法公式与乘法公式，证明一类不等式． 1.性质及公式文［1］第十章“概率”第一节“随机事件与概率”第4小节“概率的基本性质”中提炼出概率的基本性质：性质1 对任意事件，都有PA≥0． ...
例析复数乘法在解析几何中的应用 解析几何是用代数方法研究几何图形问题，解析几何中的点用一对有序实数（x，y）来表示.复平面上点与复数一一对应，也就是说，平面上的点（x，y）可以用复数x+yi来表示，所以复数与几何有着紧密的联系，也为用复数知识解决解析几何问题提供了依据. ...
阿波罗尼斯球在立体几何中的应用初探 阿波罗尼斯圆虽然只是以习题的形式在高中教材出现，却是各地质检和高考题的命题热点．在平时的月考联考中，作为数学文化试题直考查阿波罗尼斯圆，有时需要利用题干中隐含条件，合理转化，常常结合平面几何、立体几何知识联系在一起，多角度进行考察．一、利...
非对称性韦达定理问题的解法探究 直线与圆锥曲线综合问题是高考中的常见问题，在解答这一类型的问题时，往往需要通过联立直线方程和圆锥曲线方程，得到关于两交点坐标的一元二次方程，一般利用韦达定理整体代换两交点坐标对称结构的表达式，从而解决问题.但是有时会遇到套用韦达定理不能一次...

一道泰国奥林匹克竞赛试题的证明及变式推广 1.试题呈现这是2023年泰国奥林匹克竞赛试题的一道证明题，试题简洁、优美，其中不等式的左侧是以分式和的形式呈现，且前三项与后三项分别对称.本文拟对该不等式进行解法探究，并对试题进行变式与推广，供读者参考. 2.证法探究评注：此证法运用...
一道奥林匹克竞赛题引发的探究与思考 观察到①中分式的结构，注意到分母中系数与分子的关联，联想到Nesbitt不等式，可得如下结论此推论为摩尔多瓦不等式问题的推广.由定理1及幂平均不等式容易证明，在推论1中取n=3，k=2，λ=6即得2022年摩尔多瓦数学奥林匹克中的不等式问...
一道2024年数学奥林匹克不等式的证明与变式 该题是2024年西班牙数学奥林匹克试题的第2题，是一道n元不等式证明题，该题简洁且内涵丰富，很有新意，值得探究.本文呈现其证法，并作变式探究，供读者参考. 证法1：对于k=1，2，…，n，有xk>1，且所以（112（x1－1）+1）...

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