中学数学研究

2023年03期

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《中学数学研究》创刊于1980年，是由江西师范大学主管、江西师范大学数学与信息科学学院主办，《中学数学研究》主要介绍中国... 展开

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基于数学核心素养发展的余弦定理教学设计 余弦定理是高中数学重要的内容，是解决数学问题的重要工具.具体来讲，余弦定理形式优美，内涵丰富，不仅是勾股定理的推广，同时也是正弦定理的深化，在解三角形中发挥着不可替代的重要.因此，余弦定理引起一线教师们的广泛关注，尤其在如何开展余弦定理的教...
基于大观念、大问题视角下的数学深度教学 1 问题的提出新课程改革以来，自主、合作的探究式课堂精彩纷呈.因此，如何让学生在教师引领下，围绕具有挑战性且揭示本质的问题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的深度教学就显得尤为重要.由于人们总是在一定观念指导或影响下进行活动［1...
注重“四基”凸显“四能”，彰显数学核心素养 平面向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.具体设计高考命题时，可从几何角度来设置，也可从代数角度来设置，借助平面向量的相关概念、公式及其变形、定理性质、运算等来创设情境，综合相关知识与数学思想方法，考查相关的数学核...
明确路径，有序探究 众所周知，数学探究是一种寻求新知的过程，同时也一种教学模式，是一种在教师指导下学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.数学探究教学在激发学习动机、丰富学生学习方式、增强学习效果、培养创新人才上具有其他教学方式不可替代的功能.但当前...
指向深度学习的深度教学 数学深度教学是帮助学生“通过数学会思维”，学会总结反思和“再认识”，强调通过“联系的观点”帮助学生更好地学会学习，深入学习，从而真正成为学习的主人的教学.单元复习教学中，围绕教学中的重难点，通过对相关题目的背景分析、解法思考等追溯题目的根源...
明思想之道，优解题之术 “取势、明道、优术”是中国古代的哲学思想，就是指“明确方向，把握规律，办事有方”.它阐明了做任何事情都应遵循的基本道理，是中华优秀传统文化中的瑰宝，可以成为我们在深化教育领域综合改革的新形势下做好数学教育的指导思想［1］. 知识是载体，方法...

只能“平行于x轴”吗？ 1 问题呈现题目已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），B（32，－1）两点．（1）求E的方程；（2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=T...
从试验到论证 数学试验，是在综合解决学习任务时，根据问题情境，构造出具体的实例或反例、发现或猜测实例蕴含的性质，通过进一步检验、归纳与推广等过程，实现对学习任务的深刻理解的数学学习活动.数学试验，要从观察数学对象开始，是数学学习、数学探究与数学研究的基础...
从考题到课本再到考题 1 问题提出不少教师认为，教材只是讲授知识的载体，对指导怎样解题作用不大.事实上，知识传授与解题本身并不割裂，即便单纯地从指导解题出发，教材中同样蕴含着丰富的解题营养.只要深入地研究课本，就能汲取课本中富含的养分，提高解题技能，充分发挥其...
解题教学应在学生“卡壳处”下功夫 近期，笔者在高三复习中选用了一道解析几何题，试题的难度适中，但学生们的得分情况让人大跌眼镜，与之前的预想大相径庭.本文是笔者对该题教学的点滴思考，与大家分享. 1 试题呈现（济南市2022年1月高三学情调研检测第22题）已知P为圆M：x2...
立足本手　巧构妙手　释疑俗手 2022年语文新高考Ⅰ卷以围棋的三个术语“本手、妙手、俗手”为作文题目，其中本手是指合乎棋理的正规下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而从全局看通常会受损的下法.笔者由此想到，在数学的解题教学过程中，不也会经常遇到的正规解法...
特殊图形探路　极限思维求解 2022年上海高考数学卷第16题延续了上海卷一贯的命题风格：对两个命题真假性进行判断.题干表述语言简洁明确，思维能力要求很高，题目设计富有创意.有不少优秀的学生在此题上都马失前蹄，痛失五分.但也有数学素养高的学生直呼简单，更多的考生则是束手...
多角度探究2022新高考Ⅰ卷多选压轴题 2022年新高考Ⅰ卷多选的压轴题是一道函数性质与导数综合题，要求学生在抽象函数的背景下，理解函数的奇偶性、对称性、导数等概念以及它们之间的联系，对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养都有较高的要求. 一、考题呈现已知函数f（x）及其导函...
研磨经典问题，寻根拓展提升 1 试题析解（龙岩市2022年高三3月质检第20题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，b，c是三个连续的正整数，且a<b<c，C=2A. （1）求a；（2）将线段AB绕点A顺时针旋转π3到AD，求△A...

三角形半角正切立方和的几何不等式的加强 参考文献［1］匡继昌.常用不等式（第五版）［M］.济南：山东科学技术出版社，2021：311....
安振平老师提出的三道不等式的统一证明 安振平老师曾先后分别提出如下三道不等式问题：在具体证明时根据不等式的构造所含的字母个数选取n的取值，同时假设的目的在于待定指数t，通过合理变形利用均值不等式确定具体的指数t的值，最后利用不等式的同向相加性完成证明. 待定系数是数学常用的一...
三角形内接三角形周长最小值及其应用 本文探求三角形内接三角形周长的最小值，并利用其最小值得出两个有趣的定理. 定理1 如图1，△DEF的三个顶点分别在三角形△ABC的三边上，AH是△ABC的BC边上的高，∠ABC=θ，θ∈（0，π2），则△DEF周长最小值为2AHsinθ. ...
椭圆切线与焦半径之间的有趣性质 本文给出两个新发现的椭圆、双曲线涉及切线及端点为切点的两焦半径的有趣性质....
从2021年一道高考题谈圆锥曲线上四点共圆问题 本文从2021年一道高考题谈起，用从特殊到一般的方法探究圆中的相交弦定理、割线定理以及切割线定理在圆锥曲线中的表现形式，进而发现圆锥曲线上四点共圆的一个更为一般的充要条件［3］［4］. 圆中的切割线定理可以进一步推广到圆锥曲线中吗？ 4.再...
一道抛物线试题的解答与推广 1 试题呈现已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=x-2与抛物线C交于A，B两点. （1）求△FAB的面积；（2）过抛物线C上一点P作圆M：（x-3）2+y2=4的两条斜率都存在的切线分别与抛物线C交于异于点P的两点D，E.证明：...
2022年新高考Ⅱ卷解几题的多解、推广及变式 一、试题呈现（2022年新高考Ⅱ卷第21题）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y=±3x. （1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两...
一道模拟试题的解法探究及推广 圆锥曲线综合问题是解析几何的核心内容，是历年高考数学的重要考点之一，也是高考复习备考难突破的难点之一，对于圆锥曲线综合问题，由于题目文字符号多且运算量大，使得学生在解题过程中目标性不强并且方法单一，得分率偏低. 在高考复习备考中，我们希望学...

构造函数破解高考选填压轴题 2022年全国高考数学试题新颖灵活，不落俗套，突出了理性思维、数学本质、核心素养和关键能力的考查.试题的创新和难度的陡升，引发考生、家长及社会的热议和关注.试题对扭转机械刷题，死记套路的教学行为有积极的导向作用，给今后中学数学教学带来了挑战...
例析导函数零点讨论中分界点的确定技巧 我们在运用导数解决有关函数问题时，经常在对导函数的分类讨论中，由于不能正确划分分类标准造成解题失误.本文针对这个问题，通过分析和研判典型问题的求解，进一步探讨几种常用的确定分界点的方法，供读者朋友参考. 1.根据影响导函数正负号的参数取值确...
一道最值问题的多角度解法 函数最值的求解可以有很多方法，不等式、函数单调性等，不同的方法各有不同的优势，本文给出了一道求最值问题的不同求解方法，旨在引导学生进行发散思维，善于联系，抓住问题本质，从而解决数学问题. 结语：对于一个数学问题，若能根据已知与要求之间的关系...
例析构建圆的模型巧解向量最值问题 向量最值是高中数学很常见问题，根据相关代数条件构造几何图形，从其特征、性质入手巧解向量问题是一种较为简便的方法.其中圆是数学中重要的几何图形，其在解决此类问题时易被忽视，特别是需要根据问题的描述，寻找“隐圆”，建立圆的模型来求解，往往是一种...
圆锥曲线的定义在解题中的运用 定义是揭示事物本质属性的思想形式，面对一个数学对象，回顾它的定义，常常是解决问题的锐利武器. 圆锥曲线的定义是分析、研究、解决圆锥曲线问题的重要依据与手段，是圆锥曲线几何性质、定理的“ 起源”. 圆锥曲线的很多问题都与定义紧密相连，圆锥曲线...
挖掘定点，优化解题 在研究与动直线有关的问题时，有些动直线恒过定点，解题时若能抓住这“点”，从定点入手，把定点作为寻找解题思路的切入点和突破口，往往可以另辟蹊径，起到事半功倍的效果.下面结合几道例题，介绍动直线恒过定点在解题中的应用. 点评：本题的关键在于挖掘...
例谈圆锥曲线中非对称问题的处理策略 在圆锥曲线问题中，将直线方程与曲线方程联立后，消去x或y，得到方程再结合韦达定理来进行其它运算是常见的解题思路，但是在某些问题中可能会涉及需要计算两根系数不相同的代数式.像这种“非对称”的韦达定理结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，大部...
常规方法切入，破解概率最值 概率的最值问题是统计与概率部分实际应用中比较常见的一类问题，借助创新情境的创设，结合不同条件来确定概率的最值，为进一步的判断、决策或方案选择等提供条件．结合概率自身的基本特征，在进行概率的最值破解时，经常借助基本不等式方法、比较方法以及导数...

一道2022年山东省预赛试题的探究 题目已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.证明：存在圆心在原点的定圆，使该圆上任意一点的切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且OA·OB=0.（2022年全国高中数学联赛山东赛区预赛第12题）试题设计平凡、...
对称区间上和为零的三元n次幂和最大值问题研究 原题已知a，b，c∈－2，2，a+b+c=0，求a3+b3+c3的最大值.（《数学通报》2020年2月问题2530［1］）笔者在原题的基础上推广得到两个定理，为了证明这两个结论需要用到引理1和引理2. 参考文献［1］张云华.数学问题解...
一道2021年预赛试题的多解与变式 题目已知xy+yz+zx=1，其中x，y，z均为正数，则3xy+1+3yz+1+3zx+1的整数部分为＿＿＿.（2021年全国高中数学联赛广西赛区预赛第2题）命题组通过赋值x=y=z=33得到结果.作为填空题，这是一种临场技巧，是可行的...

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