中学数学研究

2023年10期

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《中学数学研究》创刊于1980年，是由江西师范大学主管、江西师范大学数学与信息科学学院主办，《中学数学研究》主要介绍中国... 展开

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基于UbD理论的单元整体教学设计 2022年4月，《义务教育数学课程标准（2022版）》（以下简称《新课标》）正式颁布.《新课标》在教学建议中明确提出“重视单元整体教学设计”的要求，改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以...
基于深度学习的单元复习课教学设计 关于深度学习的内涵，国内外有很多界定，喻平教授认为有几点是相对统一的．（1）深度理解．即学习者对知识本质的理解，对事物或知识意义的理解及对自我生命意义的理解．（2）高阶思维．即学习者在知识建构、问题解决的过程中，要有多种思维形式介入以及元认...
燃数学思想之火，升核心素养之华 2023年度高考蓝皮书《中国高考报告（2023）》指出：未来高考命题将以“三线（核心价值金线、能力素养银线、情境载体串联线）”为框架，命题呈现出“无价值，不入题；无思维，不命题；无情境，不成题”的典型特征.由此观之，新高考命题将会更加关注对...
“套路”诚然好　“通法”价更高 一、问题提出在数学学习中，对于典型的问题往往都有特殊的处理方法，即固化的解答套路，如在排列组合问题的处理中，相邻的问题计数用“捆绑法”，不相邻问题计数用“插空法”比较方便，但这些特殊的方法只适用于特殊的试题情境，故并不是通性通法，但是根据...
“补”教材之“白”　促数学理解 一、问题提出教学中教师首先要吃透教材，并对教材做适当“补白”，即对教材中省略的过程或单一的学材进行调整和补充，这是教师根据教学需要进行二次加工，使之更契合学生认知现实的过程，也是教师教学中常态化的工作之一.下面举例说明. 《普通高中教科书...
优化教学设计，落实“少教多学” 一、问题提出著名教育家陶行知先生曾说过：“所谓教师之主导作用，重在善于启迪，使学生自奋其力，自致其知，非谓教师滔滔讲说，学生默默聆听.”其中深意就是“少教多学”的教学理念.“少教”即启发性地教、针对性地教、创造性地教和发展性地教；“多学”...

一道联考试题的命制背景探究与推广 2023年3月份广东省燕博园联考的第21题解几压轴题是证明两组向量的数量积相等，笔者探究发现，该题其实是用向量形式包装的两组线段之积相等问题.对要证明的问题进一步研究发现，该题有一个圆锥曲线的性质结论为背景. 试题已知椭圆C：x2a2+y...
一类三角函数最值问题的探究 三角函数最值问题是历年来高考考试中的重点问题，具有涉及范围广、综合性强、灵活性大等特征.因此在解决三角函数最值问题时，需要掌握三角函数的周期性、有界性、单调性等性质，并灵活应用三角恒等变换，结合其函数最值特点进行有效地分析.本文主要讨论形如...
利用函数的凹凸性探究切线问题 对于一个函数而言，切线的本质是割线的极限形式.函数在某点处存在切线的前提是在此处可导，因为导数的唯一性，所以函数在任意一点处的切线也具有唯一性.而在平面内过一点作函数的切线，在一般情况下却不止一条.2021年新课标1卷第7题就考察了指数函数...
图解与双曲线有关的区域问题 一、问题提出圆是完美的图形，学生容易理解圆的有关区域问题，如圆分整个平面为三个部分：圆上、圆内、圆外；再如从平面内一点P做圆的切线的情况：当P在圆内时，0条；当P在圆上时，1条；当P在圆外时，2条.这一结论可类比推理，在椭圆、抛物线中得到...
一道圆锥曲线题的解法探究与推广 数学的问题从解法来分就是两类：一类方法唯一，多题一解；一类方法两种或两种以上，一题多解.多题一解从通性通法的角度考察对知识的本质性认识；一题多解则要求学生打破常规刻板的解题思路，从不同的思维方向对同样条件进行整合.多题一解重视学生基础，而一...
助数学思维发展　促核心素养提升 《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调“信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人机交流搭建了平台，教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果.”.GeoGebra（简称GGB）作...

一道人教A版教材习题的变式拓展 题目（选择性必修第一册P89习题2.4·题8）长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．此题的求解过程很简单.设中点Px，y，坐标原点为O，由题可得|OP|=|AB|...
一道抛物线联考题的变式与推广 1 试题再现题目（2023届江西省“新八校”高三上学期第一次联考理数第8题）如图１，抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于N，若四边形...
巧用曲线系探索一类斜率比值问题 题目（2022年全国甲卷·理20）设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，点Dp，0，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF=3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B...
“双根”技巧简化运算，等价转化探究本质 解决轨迹问题的一般方法是设点，通过题干发现点所满足的关系式，化简关系式求得结论.当题干条件复杂时，如何选择切入点则是解决此类问题的关键.笔者研究了2023届广州市高三调研测试第21题，通过该题的解答过程，很好地体现了如何设点以及消元的完整过...
从一道模拟题谈抛物线与其根轴圆的位置关系 1.试题呈现如图1，抛物线y2=8x与动圆M：（x－8）2+y2=r2（r>0）交于A，B，C，D四个不同点.（1）求r的取值范围；（2）略.这是2021年广东省江门市一模试题题21，本题的答案是43<r<8.本题内涵丰...
圆锥曲线中两类定值问题的等价刻画 文［1］考察了圆锥曲线的一个定点问题：在圆锥曲线Γ上任取一点P，过P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且l1，l2交Γ于A，B两点，若k1+k2（或k1k2）为定值，直线AB是否过定点？本文将探究两类类似的定值问题，并给出等价刻画...
点到直线距离公式在椭圆和双曲线中的推广 一、问题提出距离是一种刻画研究对象在时间、空间上的相隔长度，亦或是人的认知、情感等方面的差距．在中学数学中，距离是一种定义在欧氏几何中的标量，它没有方向、只有大小且非负．点到直线的距离公式是高中数学的重要教学内容，也是高考数学的重点考察对...
一道抛物线检测题的解法与推广探究 1 试题呈现（2023届福建省福州市高三第二次质量检查数学试题第21题）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过点（-2，0）的两条直线l1，l2分别交E于A、B两点和C、D两点.当l1的斜率为23时，|AB|=[KF（]13[KF）]...

“模型思想”在2022年新高考全国Ⅱ卷中的应用探析 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的素养.数学模型是借用数学的语言讲述现实世界中的数量、图形有关的故事，使数学走出了自我封闭的世界，构建了与现实世界的桥梁.在解题过程中，“模型思想”的建立，能帮...
数学建模视角下与导数有关的不等式问题妙解路径 具有“f（x）±g（x），f（x）g（x），f（x）g（x）”等特征式的不等式求解客观题，常利用函数单调性求解不等式，是近几年高考命题的一种热点题型，主要考查利用函数的单调性与奇偶性等函数性质求解不等式，考查转化思想与运算求解能力...
构建方程求最值，数形结合探本质 条件最值问题由于涉及到的变量较多，而且条件与问题之间的关系并不明确.即使求解结束了，也会有巧合的感觉，本文以一道经典试题为例，探究该题的解答过程及命制原理. 一、试题及分析参考文献［1］龙宇.探究一道角平分线为定值的解三角形问题［J］....
一类数列型不等式问题的证法探究 以基础函数“lnx”作为题设背景的数列型不等式证明一类问题，是出现在近年高考或各地模拟考试中的热点题型，这类问题常与导数应用紧密联系，把与lnn（n∈N*）相关联的数列型不等式的证明设置在试题的最后一问，证题时利用前面小问中的导数研究函数单...
例谈“阿氏圆”在求解三角形最值问题中的妙用 阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，即平面内到两个定点的距离之比为一个不等于1的正数的点的轨迹是圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆. 其具体定义如下：如图1所示，已知A，B是平面内的两个定点，若平面内的点P满足PAPB=k（...
一道三角最值问题的多解及拓展 解三角形问题的常用解题思路是利用正余弦定理，实现边角的互化后进行求解；其次三角形作为平面图形，其自身具有丰富的几何性质，我们还可通过几何的视角来进行求解.本文对2022年新课标Ⅰ卷第18题的多解进行分析并将问题拓展到一般结论. 一、题目呈现...
一道解三角形质检试题的探究 一、试题呈现（武汉市23届高三二调·题19）在△ABC中，AB=2，D为AB中点，CD=2.（1）若BC=2，求AC的长；（2）若∠BAC=2∠BCD，求AC的长. 本题以三角形问题为载体，主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变...
例谈放缩法在求解导数问题中的妙用 放缩函数与放缩参量在取值范围、不等式恒成立等问题中经常使用，其重要性不必赘述.很多导数题目可以转化为上述问题，学生在使用上述方法时，往往会出现一种倾向，即看到题目就想构造函数然后求函数的最值，以至于导致后续函数式过于复杂，而不能求解.事实上...
例析SOS-Schur方法在不等式中的应用 把一个关于a、b、c的三元不等式化为M（a－b）2+N（c－a）（c－b）≥0的形式，并设法证明其成立的方法我们称为SOS-Schur方法，这个方法是SOS（平方和）方法的变通，平方和方法可以参见文［1］，SOS-Schur方法可以解决一些...
从竞赛视角探究一道征解题 《数学通讯》（上半月刊）2022年第10期问题征解第573题隐含了一个经典的竞赛不等式，本文从竞赛的视角对这道征解题的变式作了深入地探究，最后给出了三个推广. 问题1 已知a，b，c是正数，求证：a2（b+c）3+b2（c+a）3+c2（a...