高中数理化

2026年01期

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半月刊

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高考数列命题趋势及备考策略探究 数列是特殊的函数，在对其研究过程中，蕴含着分类讨论、函数方程、化归与转化、数形结合等思想方法，能有效培养学生运算求解、逻辑推理、数学建模等综合能力.本文从高考数列模块的命题趋势、考题类型、备考要点等几个方面展开探究. 1命题趋势从近年高...
两类函数在高考中的应用 函数作为高中数学的核心内容之一，不仅承载着对数学逻辑思维的培养，也是连接代数、几何等模块的重要纽带.函数的图像与性质是破解函数相关问题的金钥匙，所以函数的图像与性质是高考的高频考点.本文归纳两类函数的图像与性质，并展示其在高考中的应用，供读...

对教材中一道课后习题的探究 高中数学比较大小的常用方法是作差法、作商法、中间量法等；对于结构特征明显的某些比较大小问题，也可采用构造函数法.作差法要求将代数式变形为能判断差值正负的结构，并根据实数的性质比较大小；作商法要求将代数式变形为能与1进行大小比较的结构；中间量...
跨越千年的赵爽弦图，数形结合的东方智慧 赵爽弦图作为中国古代数学数形结合思想的典范，它不仅为勾股定理提供了简洁直观的证明，更蕴含着解决代数不等式问题的深层逻辑.本文以赵爽弦图的几何构造为切入点，系统梳理其证明重要不等式的核心路径，分析其在基本不等式、均值不等式链、三角恒等式的证明...

关于2024年兰州大学数学强基计划试题第6题的探究 1试题呈现及分析题目比较大小： (e+1)e+2 ， (e+2Θ)e+1 ， (cos 1) sin1, (sin1)cos1 该问题涉及指数函数、三角函数的性质及不等式证明等多个数学知识点，需要综合运用数学知识分析数的结构特征，对逻...
对不等式放缩的一点理性思考 不等式是中学数学强基和竞赛的热门考点.放缩法是不等式证明的重要方法之一，但很多放缩法对于大部分学生来说是一头雾水，即使学生能够看懂解答过程，也不知道是如何想到的，再碰到类似的问题仍然无从下手.本文以一道北京大学中学生体验营的题目为例，谈谈看...
示性函数在集合问题中的巧妙应用 集合论作为现代数学的基石，其思想与方法渗透于数学的各个分支，同时也是中学数学竞赛中不可或缺的重要组成部分.示性函数，又称特征函数，为解决集合问题提供了一种强有力的工具.它将集合与函数这两个核心数学概念紧密地联系起来，通过将集合的“属于&qu...

“1"的代换在基本不等式中应用的变式探究 基本不等式的应用一直是高考的重要考点，主要考查应用基本不等式求最值.因此，对于考生而言，掌握基本题型，把握解题规律显得尤为重要.本文采擷一道经典问题进行多角度变式，探究“1"的代换在基本不等式求最值中的应用，希望对读者有所启发...
建构向量模型巧解一类根式函数的值域 本文旨在探讨一种构造向量模型的几何方法，将抽象的代数式赋予直观的几何意义，从而化繁为简，快速求解一类根式函数的值域.这种数形结合的思路，不仅能帮助学生快速解题，更能深化其对向量、几何与函数之间内在联系的认识，提升数学核心素养. 1典型试题研...

非线性递推数列求通项的处理方略 由递推关系求数列的通项公式，是数列问题的常考题型.针对不同的递推类型，构造的切入点也不尽相同.若是线性递推关系，可采用累加、累乘、待定系数法等求解.对于非线性递推关系求通项问题，需要结合题目条件，选择相应的处理方法.本文对此进行探究. 1核...
探究分段函数的性质 分段函数在不同的区间内有不同的解析式，较单一函数更为灵活，能有效考查数形结合、分类讨论、化归与转化、函数方程等数学思想的应用，是高考命题的重难点.在处理分段函数的性质问题时，应综合分段点两侧函数的性质，将其合二为一.下面从一题多变的角度就分...
双变量函数不等式处理策略 双变量函数不等式的命题背景通常有两种情况：一种是两个变量属于不同的函数，针对两个变量是任意，还是存在，分别求两个函数的最值；另外一种是两个变量属于同一个函数.本文针对第二类双变量函数不等式恒成立问题，从以下几个方向探究其处理策略. 1 把握...
一元二次不等式整数解个数求参问题策略梳理 一元二次不等式整数解个数求参问题，综合考查函数图像、方程根的分布以及数形结合、分类讨论等数学思想，是高中数学中的重难点.本文系统梳理此类问题的四种解题策略一一根的范围锁定法、对称轴性质分析法、函数值符号判定法、分离函数与数形结合法，旨在帮助...
以三角函数为背景的导数应用问题探究 三角函数与指数、对数或幂函数综合的导数应用问题，因综合性强、性质灵活，对考生的思维能力要求较高，成为近年高考命题的难点题型.本文从此类问题的难点所在、策略总结、典例分析这几个角度进行探究，以期对读者的复习有所帮助. 1难点所在 1）三角函数...

隐藏在教材中的柯西不等式 在新高考背景下，“柯西不等式”的字样在新教材中已经消失，但是其内容隐藏在平面向量及其应用中. 1 呈现隐蔽题目用向量方法证明：对于任意的 a,b,c,d∈ R，恒有不等式 (ac+bd)2⩽(a2+b2)(c2+d2) 该题源于人教A...
基于“共起点，微小量”思想比较大小问题解法探究 比较大小是高中数学中的经典问题，通常考查学生对函数性质、不等式与导数工具的掌握程度.然而，有一类比较大小的题型，待比较的三个数值极其接近，传统作差、作商、函数单调性等方法难以直接奏效，此类问题可称为数值逼近比较大小问题，其难点在于数值近似，...

指数函数与其反函数图像交点问题探究 指数函数 y=ax （（a>0）且 a≠1 ）与对数函数 y= logax 互为反函数，因此其图像关于直线 y=x 对称.若这两个函数图像存在交点，则必定有一个交点位于直线 y=x 上.然而，将指数函数与对数函数图像的交点问题简化...
洞察函数性质，破解疑难问题 面对形式复杂的函数问题，学生常因盲目计算而陷入困境.基于此，本文结合典型例题，系统性地阐述了如何利用函数的奇偶性、对称性进行高效转化与求解.掌握这一“先整体分析，后定向转化”的思维路径，不仅能有效简化一类复杂函数问题，更有助于学生深刻理解化...
“倒反函数”在高中数学解题中的应用 奇偶性是函数的重要性质，而“倒反函数”具有与奇偶性类似的隐藏性质，其根源可追溯至人教A版普通高中教科书数学必修第一册第100页第3题（设，求证： -f（x）（x≠0））.这一习题揭示了“自变量为倒数时函数值互为相反数"的核心...

抓住关键，选择合理路径解决双变量问题 导数是高考重点考查的内容，其中双变量问题时常作为压轴题出现在高考试题中，考查学生的高阶思维能力.学生解决这类问题常常感到比较棘手，究其原因，其一是变量多，把握比较困难;其二是题目中的条件和要解决的问题不同，使得解决问题的方法各异.因此，如果...
利用导数研究函数与切线问题的多种视角 近年来北京高考导数题常考查函数与切线相结合的问题，这类问题综合性强，考查方向具有多样性，在解题过程中需要综合运用多种数学思想和方法，将抽象问题具体化.本文对一道典型例题的求解过程进行剖析，供读者参考. 1 例题呈现例1已知函数 f（x）=...
换元法在求解多元最值问题中的应用 换元法是代数运算过程中一种重要的简化运算方法，通过引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，求出结果后再求原变量.“和差代换”“积商代换"和“均值代换”是常用的几种特殊代换方法.利用这几种特殊的代换，求解多元一次条件式和含有交叉项...
常用“五策略”求恒成立中参数的取值范围 不等式恒成立求参数这一知识点是高频考查的重点.学生往往因缺乏转化与化归的思路，导致在解答这类问题时受阻.下面，笔者以一道模拟试题为例，从多个视角出发，提供解决这类问题的策略，供读者参考. 题目已知函数 f（x）=x2 ，对任意实数 Ψt ，...
代数不等式的证明综述 代数不等式的证明，即证明一个代数式大于、小于或等于另一个代数式或常数.代数式中通常含有两个或三个变量，不等式的结构主要包括整式、分式或根式等.此类问题是考查考生推理论证能力以及化归与转化能力的有效载体. 1通法总结代数不等式的证明方法较多...
构造函数，借助导数巧解题 若题设中涉及与导数相关的不等式，或给出“双变量"不等式恒成立，通常通过构造函数（有时需进行适当变形，以明确构造函数的方法），借助导数知识巧妙求解.本文结合例题进行归类解析，阐述这类问题的解题思路. 1 利用构造函数例1 已知...
探析求解函数零点相关问题的方法 函数零点问题是高考的命题热点.求解函数零点问题，可从以下三个方面探寻思路：一是着眼于函数零点存在定理的应用，二是将函数零点问题转化为方程问题，三是将函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题.本文举例探析这三种解题思路. 1从函数零点存在定理...
借助“齐次化"变形巧解题 “齐次化"变形是指将分式分子、分母中的各个加项均代数变形为“齐次式”，从而便于对目标问题进行分析和求解.本文借助一些实例阐述“齐次化”变形在解题中的应用. 1借助“齐次化"变形，巧证不等式例1已知 a>0,b&g...
构造比大小无招胜有招 比大小试题近年来备受命题者青睐，频繁出现在联考及高考试题中，且难度不一、方法无常（没有固定的“套路”），可谓“无招”.然而，如果采取构造的方法解决此类试题，那么问题可能会迎刃而解，具体表现为构造中间值、构造不等式、构造函数等方法.这些方法有...
数列不等式的常见放缩技巧研究 数列不等式是考试命题的焦点，同时也是部分考生公认的难点.解决数列不等式的基本思路在于合理放缩，通过放缩后进行运算，以达到解决问题的目的.那么，数列不等式的常见放缩技巧有哪些呢？本文通过具体例子进行详细说明， 1 裂项放缩裂项放缩法类似于...