中学数学研究

2024年04期

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《中学数学研究》创刊于1980年，是由江西师范大学主管、江西师范大学数学与信息科学学院主办，《中学数学研究》主要介绍中国... 展开

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高中数学选择性必修课程函数主线分析 函数是现代数学最基本的概念之一，是描述客观世界中变量关系和规律的利器，更是数形结合思想的重要载体，在解决实际问题中发挥关键作用.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称“课标”）在明确课程基本理念中强调突出数学主线，...
贯彻新课程理念促学习能力提升 数学教学既要关注知识的掌握，又要强调能力的提升.教学中，教师应结合教学实际设计一些探究性活动，让学生在活动中思考，在思考中深化，切实提高学生数学学习能力.不过，在实际教学中，为了赶进度，很多教师很少提供时间和空间让学生自主探究，大多延续着“...
对高中数学新课标教材新增知识点的价值分析 一、问题的提出随着2017年版2020年修订的普通高中数学课程标准的全面实施，普通高中数学新课标教材应运而生.新课标教材依据新课程标准，根据新时代高中生的认知特点并结合数学教育承载着落实立德树人、发展素质教育的功能，删减了部分老旧边缘的知...
优化数学认知结构提升一轮复习效率 一轮复习是高考复习教学的关键一环.在此阶段，学生依然是课堂的主体，然大多复习课堂却以教师为主导，延续着“师讲生听”的教学模式，课堂容量大、频率快，容易出现学生“懂而不会”的尴尬局面.实际上，一轮复习要重视通性通法的提炼，让解题方法和解题策略...
基于结构视域下的高中数学教材的深度理解 当下，大单元教学开展得如火如荼，但教研活动交流表明不少教师对大单元教学认识模糊，做不到对每节课都有大单元理念的渗透，充其量在一章开始时向学生介绍一下本章内容产生的背景、价值以及与其他章节的联系，之后在一节节具体的内容教学时也只能是就事论事了...

教材寻法巧解真题 圆锥曲线问题是考查学生的数学运算和逻辑推理核心素养的重要抓手之一，在近几年高考及各地模拟考试中，此类问题因在求解过程中含多个变量，往往具有较大且复杂的运算量，让学生束手无策、望而生畏，是学生解题过程中的一个“痛”点.对于高考中的这一热点和难...
递推:贯穿数列教学的始终 递推是数列的灵魂，是序列计算的一种常用算法，是按照一定的规律来计算序列中的每一项.其思想是把一个复杂的庞大的运算过程转化为简单过程的多次重复.已知一个数列｛an｝第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系用一个...
展望命题趋势，契合“考教衔接” 1．问题提出我们知道，2020年10月中共中央、国务院印发文件中强调“稳步推进中高考改革，改变相对固化的试题形式，增强试题的开放性，减少死记硬背和机械刷题现象．”2022年数学新高考Ⅰ卷的“难”有很大一部分体现在“新”上．学生怕“新”，是...
运用实系数二次方程求复数范围问题 复数范围内的实系数一元二次方程问题，原来一直是课外补充与阅读知识，新教材（2019人教A版）中直接作为课本例题加以剖析与展示，并在例题的基础上，给出了复数范围内的实系数一元二次方程的求根公式，明确加强这部分知识内容的基本要求与综合应用，也为...
从三角形面积公式到正余弦定理和三角恒等式 本文将通过三角形的面积公式导出正余弦定理和三角恒等式，过程中并不需要其他新知识作为铺垫，不但能够将初中平面三角形和高中三角知识有效的衔接，也能使得后置的正余弦定理和三角恒等式更早更自然的进入学生视野，以便后期学生学习相关内容时能够有更深入的...

两个三角基本不等式及推论的应用 三角函数与导数综合问题在近期试题中非常常见．三角函数具有的单调性、有界性、求导特征均为导数的研究带来活力．本文对涉及三角函数的导数的几个不等式及其应用展开讨论，以展示这类不等式的重要应用．一、两个三角基本不等式不等式1当x>0时，...
对一道征解题解答的质疑与探究 文［1］中，作者给出了第2604号问题的解答.该问题形式优美，引起笔者的兴趣，也对此进行探究，并发现文［1］对于问题（2）的解答有误，并得到问题的一个结论及猜想，故此成文，与大家分享. 一、第2604号问题及原解答的呈现为了说明原解答的错...
一道代数不等式的两种新证及猜想 文［1］中提出了如下一个优美的代数不等式：已知正数x，y，z满足xy+yz+zx=1，求证： 12x+y+z+1x+2y+z+1x+y+2z≤334. 文［2］，［3］给出了上述不等式的精彩证明，受其启发，经过研究，笔者也发现了两种证明该...
几个三角形不等式的再探究 设ΔABC的三边长、三边对应的高、对应的旁切圆半径、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为a，b，c，ha，hb，hc，ra，rb，rc，R，r，s，用∑、∏表示循环求和、循环求积. 文［1］提供了加拿大数学杂志Crux Mathemat...
三角形内切椭圆的几个几何恒等式 文［1］给出了三角形内切椭圆的一个几何恒等式，即命题1［1］设P，Q是ΔABC的一个内切椭圆的两个焦点，则下列等式成立： PA·QACA·AB+PB·QBAB·BC+PC·QCBC...
由一道高考模拟题探究圆锥曲线恒过定点问题 由于圆锥曲线作为坐标平面内点的运动轨迹，蕴含着运动变化过程中保持的某种“规律性”或“不变性”［1］，而这种“规律性”或“不变性”就是圆锥曲线的性质.本文以2023年某市高三二模第21题为例，利用GeoGebra软件探究圆锥曲线的定点问题. ...
探寻本质触类旁通 1试题呈现已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F（2，0），一条渐近线方程为y=3x. （1）求双曲线C的方程；（2）在x轴上是否存在与点F不重合的点P，使得当过点F的直线与双曲线的右支交于A、B两...
一道解析几何试题的解法与推广 2023年3月江苏省八市和浙江省9+1联盟学校2023届高三第二次调研测试的第21题是一道颇具探究价值的优质试题，本文在对该题进行解答的基础上，对试题进行推广探究，进而得到相应的结论. 1试题呈现已知椭圆E：x2a2+y2b2=1的离心率...
与圆锥曲线焦点弦有关的一组性质 圆锥曲线的焦点弦是圆锥曲线中的重要元素，圆锥曲线存在与焦点弦有关的众多性质，笔者通过研究得到了下列性质，与各位同仁分享. 性质1设点F为有心圆锥曲线（椭圆或双曲线，下同）C的一个焦点， C的离心率为e，过点F且斜率为k的直线l与C交于P，Q...

2023年高考数学天津卷压轴题的另证 2023年高考天津卷的导数题一如既往的独具风格，耐人寻味.针对此题最后一问，本文将另辟蹊径，探寻他解. 试题呈现已知f（x）=（1x+12）ln（x+1）. （1）求曲线f（x）在x=2处切线的斜率；（2）当x>0时，证明：f（x）...
构造两类概率模型解决相关不等式问题 虽然数学的各分支都有自己的研究方向和重心，但相互之间并不存在不可逾越的鸿沟．构造概率统计模型解决问题，是一种富有创造性的思维方式，它为我们解题提供了另一途径，不失为一种好方法，该方法对于培养学生思维的广阔性和创造性，具有重要的意义．本文尝试...
解题需要重视寻找“切入点” 学习数学需要解题，而解题方向是否合理，解题过程的繁冗与简捷，往往在于解题“切入点”的选择.善于从题目所显示的或隐含的某些特点中寻找解题“切入点”，既能快速决策解题的方向，也能优化解题的过程，起到“四两拨千斤”的解题效果.本文从几个方面阐述寻...
不忘初“型”，方得始终 我们知道，函数f（x）=x+kx（k>0），对其求导得 f′（x）=1－kx2（x≠0），令f′（x）>0得x>k或x<－k;f′（x）<0，得－k<x<k且x≠0，所以f（x）=x+kx（k&g...
一道2023年模考题的多视角探究 一、问题呈现与解法探究题目已知正实数a，b满足3a－5b=4a2b2，求1a+1b的最小值. 本题是二元约束条件下的二元函数最值问题，试题简洁、对称、优美，有一定的难度，本文给出多种视角下的解法. 视角1拆项+均值不等式解法1：因为a，...
2023年全国新高考Ⅰ卷解几压轴题解法探究 在2023年全国高考数学新高考Ⅰ卷中，压轴题是一道解析几何试题，命题者以直线和抛物线的位置关系为命题背景，巧妙地设计了矩形周长的最值问题，对学生的应用数学知识的能力进行了有效地考查．本文以此题为例，从不同的角度研究其解题思路，并总结一般性结...
平面向量模问题的求解策略研究 平面向量是高考命题的重要考点，尤其是平面向量模的问题，时常出现在高考题的填空题中.我们知道，向量既有大小又有方向，这里的大小就是指向量的模，也叫向量的长度.计算向量的模或模的最值（取值范围）是一类常考题型.那么这类问题该如何破解，本文从一道...
一道教材习题在求解高考题中的应用 人教版A版必修第二册第六章《平面向量及其应用》第54页习题6.4第18题：利用第10题的结论，证明三角形的面积公式S=12a2sinBsinCsinA. 由正弦定理知asinA=bsinB，从而b=asinBsinA，由第10题结论S=12...

一道2023年中国北方奥林匹克竞赛试题的解法探究及其推广 1.试题呈现题目设a，b，c∈0，1，且ab+bc+ca=4abc，求证：a+b+c≥1－a+1－b+1－c. 分析：这是2023年第十八届中国北方奥林匹克竞赛试题的一道不等式证明题，其中已知条件是以循环和的形式呈现，求证的不等式为根式的...
例谈“方差”模型在求解数学竞赛题中的妙用 数据方差公式是统计中的重要公式，除了用于判断数据的波动程度的大小外，在解决数学问题时具有极其广泛的运用价值.对于数学中的其它一些问题，若能根据特点，巧妙应用或构造“方差”模型来求解，则思路清晰、明快简捷，常常会有出其不意的解题之效.本文从竞...
巧解一道代数求值题 题目已知实数a，b，c，k满足k=2（a+1a）=3（b+1b）=4（c+1c），且ab+bc+ca=1，求k的值. 该题题干简洁、优美，引起了老师们的热议，受大家的启发，本文结出了该题的三个简解. 解法一：设∑a=x（其中∑表示对a，b，...

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