几道以双曲函数为背景的数学创新题探究

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1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 y= ，其中 c 为参数.当 c=1 时，就是双曲余弦函数 ，类似地我们可以定义双曲正弦函数 它们与正，余弦函数有许多类似的性质.双曲函数是一类在数学和工程领域中具有重要应用的函数，其定义和性质与三角函数有类似之处，但也存在明显的差异．双曲函数最初源于悬链线问题的研究，后来逐渐发展成为高等数学中的基本函数类别之一．尽管在高中数学教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．例如人教版必修1第一册第四章第160页出现了以双曲函数为背景的习题：

（2）双曲正切函数有两条渐近线，分别为 y=1 和 y=-1 ;

（3）双曲正弦函数、双曲正切函数均是严格单调递增曲线；其中，双曲正切函数的图像被限制在两水平渐近线 y=1 和 y=-1 之间.

（4）平方公式：

和差角公式： sinhxcoshy+ coshxsinhy; 二倍角公式： sinh2x= 2 sinhxcoshx ; cosh2x= 2

题目 设 求证：（1） [g（x）]2-[f（x）]2=1 ；（2） f（2x）= 2f（x）g（x） （20

该题目直接利用函数的定义即可证明．实际上 I（x） 为双曲正弦函数，我们将其记作 sinh（x）= 为双曲余弦函数;记作 cosh（x）= 此外还有双曲正切函数，将其记作 tanh（x） 进一步，根据上述双曲函数的相关定义，我们将其性质整理如下：

（1）双曲正弦函数、双曲正切函数均是以原点为中心的对称曲线.双曲余弦函数是关于 y 轴对称的对称曲线;

辅助角公式：Acoshx + Bsinhx Σ=Σ （204号

双曲函数和三角函数的联系公式：coshix Σ=Σ Ψ=Ψcosx. （20

导数公式： [sinh（x）]′=cosh（x） ，[cosh（x）]′=sinh（x）.

此外，类比正弦函数的二倍角公式，可得： =2sinh（x）cosh（x）.

为了进一步掌握双曲函数的性质，并发掘其应用背景，我们从以下例题展开说明

例1 根据双曲函数的定义，以下结论正确的是.

A.双曲正弦函数是增函数B．双曲余弦函数是增函数C.双曲正切函数是增函数D. tanh（x + y） = 1+tanhxtanhy

解析 令 则 f′（x）= 恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故 A 正确；

令 则 e，由A知g'（x）为增函数，又g′（0）=−e。（剩余1710字）