异面直线所成角的两种求法解析

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异面直线是指空间中既不相交也不平行的两条直线.我们往往很难直接确定或求得异面直线所成的角，需通过作平行线、构造向量来求异面直线所成角的大小，下面结合实例，介绍异面直线所成角的两种求法.

一、平移法

运用平移法解题，需灵活运用异面直线所成角的定义.先根据几何体的特征、中位线的性质、平行四边形的性质等，作异面直线的平行线，使其交于一点，则所得的夹角即为两条异面直线所成的角；再构造三角形、平行四边形等，利用余弦定理、勾股定理、三角形的性质、平行四边形的性质来求夹角的大小.

例1.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， BB1=BC=1 ，求异面直线 DB1 与 BC1 所成的角，

解：连接 BC1 和 B1C ，设其交点为 o ，连接点 o 与 CD 的中点 E ，如图1所示，

图1

因为 E 为 CD 的中点， o 为 B1C 的中点，因此 OE 为 ΔB1CD 的中位线，所以 OE//B1D ，且 则异面直线 DB1 与 BC1 所成的角为 ∠BOE 业因为 所以 由余弦定理可得 即 ∠BOE=90∘ ，故异面直线 DB1 与 BC1 所成的角为 90∘.

仔细观察图形，可以发现直线 DB1 与直线 BC1 分别在两个不同的平面内，需采用平移法，通过作辅助线，构造出ΔB1CD 的中位线 OE ，即可根据三角形中位线的性质得出OE//B1D ，从而将 DB1 平移至 OE ，使 OE 与另外一条异面直线 BC1 相交于 o 点，便能找到异面直线 DB1 与 BC1 的平面角 ∠BOE. 再根据长方体和三角形中位线的性质求得△BOE的边长，直接利用余弦定理求得角∠BOE的大小.

二、向量法

有时，我们根据几何图形的特征很容易找到三条互相垂直的直线，或在同一个平面内互相垂直的两条直线，便可将其交点视为原点、直线视为坐标轴，来建立空间直角坐标系.分别求得两条异面直线的方向向量m和，直接根据向量的数量积公式求得cos （204号其中 为异面直线所成的角或补角.

例2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 和 F 分别是侧面 BCC1B1 和 CDD1C1 的中心，求异面直线 A1E 和 B1F 所成角的余弦值.

解：以 B 为原点， BC 为 x 轴， BA 为 y 轴， BB1 为 z 轴建立空间直角坐标系，如图2所示。（剩余300字）