灵活运用数学思想，快速解答曲线的位置关系问题

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在解答圆锥曲线问题时，我们经常会遇到曲线的位置关系问题.解答此类问题，需灵活运用数学思想，如函数思想、方程思想、数形结合思想，才能提升解题的效率.

例题：若椭圆 和圆 C2：x2+（y+1）2= r2（r>0） 没有公共点，求 r 的取值范围.

要使椭圆与圆没有交点，需使二者相离，我们可以从代数和几何两个角度来寻找解题的思路，根据曲线的方程构造一元二次方程、一元二次函数，并画出图形，运用函数思想、方程思想、数形结合思想来解题.

一、利用函数思想

在运用函数思想解答曲线的位置关系问题时，我们可以将两个曲线的方程联立，并消去一个变量，以构造出关于另一个变量的函数，再根据曲线的范围确定变量的取值范围，即函数的定义域，求函数在定义域上的值域，就能确定曲线中参数的取值范围.

解：联立椭圆 C1 和圆 C2 的方程，得 消去 x 得 中 由椭圆 C1 可知 -2≤y≤2 则该二次函数在 上单调递增；在 上单调递减. 可得 f（y） 的值域是 ，即 ]，此时圆 C2 与椭圆 C1 有公共点，因此当两条曲线没有公共点时 r 的取值范围是 0< r<1 或

我们先将两条曲线的方程联立，得到关于 y 的一元二次函数；然后根据椭圆的范围求得 y 的取值范围；再根据二次函数的性质求得函数的值域，从而找到圆 C2 与椭圆 C1 有公共点时 的取值范围，进而求得问题的答案.

二、利用方程思想

利用方程思想解答曲线的位置关系问题，需将两个曲线的方程联立，消去一个变量，构造出关于一元二次方程，将曲线的位置关系问题转化为一元二次方程的根的个数问题.一般地，若 Δ>0 ，则两条曲线有2个交点；若Δ=0 ，则两条曲线有1个交点；若 Δ<0 ，则两条曲线没有交点.

解：联立椭圆 C1 和圆 C2 的方程，得 （消去 x 得 （20要使椭圆C+4 4=1和圆C2：x²+（y+1）²=r²（r>0）没有公共点，需使方程 没有实数根或者两根 ⋅y1，⋅y2 A -2，2] ·（1）若方程没有实数根，则 解得 54或r<- （204号因为 r>0 ，所以 应舍去；（2）若方程两根 y1，y2 [-2，2]，设 10-r2 ，则 解得 0 将曲线的方程联立，即可轻松得到一元二次方程，通过研究方程的根的判别式和根的分布情况来建立不等式组，就能快速求得参数的取值范围.

三、利用数形结合思想

在解答曲线的位置关系问题时，我们可以先画出曲线的图形，然后观察两条曲线有2个交点、1个交点、没有交点的情形；再求得曲线的焦点、中心、交点之间的距离，根据两条曲线之间的位置关系建立代数关系式，即可求得问题的答案.

解：由图可知当 0

设椭圆上任意一点 Q（3cosθ，2sinθ），C2（0，-1）， 则  =9cos2θ+4sin2θ+4sinθ+1 

 所以当  时两曲线无交点.

因此两条曲线没有公共点时 r 的取值范围是 0

若根据曲线的几何特征和方程很容易画出曲线，则可以运用数形结合思想，通过观察图形来确定曲线的位置关系，利用两点间的距离公式、点到直线的距离公式等来建立代数关系式.

可见，在解答曲线的位置关系问题时，灵活运用函数思想、方程思想和数形结合思想，能有效地提升解题的效率.在解题时，我们需根据曲线的方程，构造出一元二次方程、一元二次函数、几何图形，以运用数学思想将问题进行转化，从而高效解题。（剩余0字）