半群 In,r 的极大(逆)子半群

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摘要：设 Sn 和 In 分别是Xn={1，2，...，n }上的对称群和对称逆半群.对0 r ≤ n，令I r）=α In ： im（α） r}，则 I（n，r）是对称逆半群 In 的双边理想.对0≤ r ≤ n-1，考虑半群Inr=I（n r）us 的极大（逆）子半群的完全分类.证明了半群 In，r 的极大子半群和极大逆子半群是一致的.

关键词：对称群;对称逆半群；理想;极大子半群;极大逆子半群

中图分类号：O152.7   文献标识码：A   文章编号：1009-3583（2024）-0085-04

The Maximal Inverse Subsemigroup of a Semigroup In，r

XIAO Jian， YU Jiang-hui， LUO Yong-gui

（School of Mathematics Science， Guizhou Normal University， Guiyang 550025， China）

Abstract： Let Sn and In be symmetric group and symmetric inverse semigroup on Xn={1，2，...， n} respectively. For 0 r n， put I（n， r）=α eI ： im（α）≤ r}， I（n，r） are the two-sided ideals of symmetric inverse semigroup In . For 0 r ≤ n-1， we need to consider complete classification of the maximal inverse subsemigroup of a semigroup In = I（n， r）usn . This paper proved that the maximal sub- semigroup and the maximal inverse subsemigroup of In，r are consistent.

keywords： symmetric group; symmetric inverse semigroup; ideal; maximal subsemigroup; maximal inverse subsemigroup

设 G 是群，P 是 G 的非空子集，〈P〉表示群 G 的子集P 生成的子群 Q.设 G 是群，H 是 G 的真子群，对 G 的任意子群 Q 都有 H Q G 推出 Q=H 或 Q= G， 则称 H 是群 G 的极大子群（如果 G 是群， H 是 G 的真子群，对任意的a ∈G＼H都有G =＜HU{a ＞，那么称H 是 G 群的极大子群）.设 S 是半群，A 是 S 的非空子集，a，e ∈S.若 e2=e， 则称 e 是 S 的幂等元，A 中所有幂等元之集记为 E（A）.若存在 b∈S 使得 a =aba，则称 a 是S 的正则元，A 中所有正则元之集记为Reg（A）.如果 Reg（S）=S，则称 S 是正则半群（如果半群 S 中的每个元素都是正则的，那么称 S 是正则半群）.若存在 b∈S 使得 a =aba 且 b=bab， 则称 b 是 a 的逆元，a 在半群 S 中的所有逆元之集记为 V（a）.设 S 是正则半群， 若半群 S 中的每个元素都有唯一的逆元， 则称 S是逆半群.易见， 幂等元是正则元但正则元不一定是幂等元， 逆半群是正则半群但正则半群不一定是逆半群， 子群是逆子半群但逆子半群不一定是子群.若 SA A， 则称A 是半群 S 的左理想;若 AS A， 则称 A 是 S 半群的右理想;若 A 既是半群 S 的左理想又是半群 S 的右理想， 则称 A 是半群 S 的双边理想， 简称理想（如果 SAS A， 那么称A 是半群 S 的理想）.〈A〉表示半群S 的子集A 生成的子半群.设S 是（逆）半群， M 是 S 的真（逆）子半群，对 S 的任意（逆）子半群 T 有 M T S 推出 T=M 或 T=S，则称M 是 S 的极大（逆）子半群（如果 S 是（逆）半群，M 是 S 的真（逆）子半群，对任意的 a ∈S＼M 都有S = MU a ，那么称M 是S的极大（逆）子半群）.如何刻画半群 S 的极大子半群一个大家感兴趣的问题.当半群 S 是逆半群时， 又如何刻划半群 S 的极大逆子半群.对于有限半群具有某种性质的极大（逆）子半群的研究目前已有许多结果[1-9].

设自然数n ≥2，X ={1，2，3， ， n -l， n ， 并赋予自然数的大小序.Sn，In 和 Pn 分别表示Xn 上的对称群，对称逆半群和部分变换半群.对0≤ r ≤ n ，令In， r）={α I ： im α r ， 易见 I（n，r）是对称逆半群In 的逆子半群且对任意的α eIn， r）， Y ∈ In， 都有 im（βay） r l， 即6areI（n r）， 因而 I（n，r）是对称逆半群 In 的双边理想.记 SIn =In ＼Sn，则称 SIn 是Xn 上的部分一一奇异变换半群.显然 SIn =I（n，n-1）.对0≤ r ≤ n-1，令In r =I n r usn ， 易证 In，r 是对称逆半群 In 的子半群.文[1]证明了 Sn 对称群的极大子群的分类.文[2]获得了对称逆半群In 的极大逆子半群 M 有且仅有两类： M = I（n，n -2）usn 和 M=（n n-）UG= UG ， 其中 G 是群 Sn 的极大子群， 进一步证明了对称逆半群 In 的理想 I（n， r）的极大逆子半群的分类;文[3]研究了域 F 上的有限维向量空间的对称逆半群 I（ V）的极大逆子半群的分类，进一步获得了I（ V）的理想的极大逆子半群的分类;文[4]讨论了有限部分一一保序变换半群 OIn 的极大逆子半群的分类;文[5]进一步证明了 OIn 的理想 K（n，r）的极大逆子半群的分类;文[6]继续研究了有限部分一一保序或保反序变换半群 DOIn 的理想 KD （n，r）的极大逆子半群的分类;文[7]证明了 E-类保序严格部分一一变换半群。（剩余3210字）