一类四阶方程基于降阶格式的谱 Galerkin 逼近及误差估计

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摘要：本文针对一类四阶方程提出了一种基于降阶格式的有效谱 Galerkin 逼近.首先，引入一个辅助函数，将四阶方程化为两个耦合的二阶方程，并推导了它们的弱形式及其离散格式.其次，利用 Lax-Milgram 引理和非一致带权 Sobolev 空间中正交投影算子的逼近性质，严格地证明了弱解和逼近解的存在唯一性及它们之间的误差估计.最后，通过一些数值算例，数值结果表明该算法是收敛和高精度的.

关键词：四阶方程；降阶格式；谱 Galerkin 逼近；误差估计

中图分类号： O241   文献标识码：A   文章编号：1009-3583（2024）-0081-04

Spectral Galerkin Approximation and Error Estimates Based on Reduced Order Scheme for A Class of Fourth Order Equations

WANG Yuan-lu ， JIANG Jian-tao

（School of Mathematical Science， Guizhou Normal University， Guiyang 550025， China）

Abstract： In this paper， we propose a spectral Galerkin approximation and error estimates based on reduced order scheme for a class of fourth order equations. Firstly， by introducing a auxiliary function， we transform the original problems to two coupled second order equa- tions， and their weak form and corresponding discrete format are also derived. Secondly， by using Lax-Milgram lemma and the approxi- mation properties of orthogonal projection operators in non-uniform weighted Sobolev spaces， we strictly prove the existence and uni- queness of weak solution and approximate solution and as well the error estimate. At the end， we conduct some numerical experiments， which show that the algorithm is convergent and high accurate.

keywords： fourth order equation; reduced order scheme; spectral Galerkin approximation; error estimation

四阶方程在流体力学、物理学和生物学等多个领域有着广泛应用，许多复杂的非线性问题[1]的计算最终都归结于反复求解一个四阶方程问题，如Cahn- Hiliard 方程[1-4]、扩展的 Fisher-Kolmogorov 方程[5-8]等.因此，提出一种有效求解四阶方程的高精度数值方法是非常有意义的.

到目前为止，已有很多数值方法求解不同边界条件下四阶方程问题，主要包括有限元法[9-12]、谱方法及其他高阶数值方法[13-19].对于有限元方法，区域剖分和对连续可微的有限元空间的要求将产生大量的自由度，要获得高精度的数值解将需要很多计算时间和内存容量.

众所周知，谱方法是一种具有谱精度的高阶数值方法[19-20]，是求解微分方程的一种重要的数值方法.据文献所知，很少提到关于四阶方程基于降阶格式的谱方法.因此，本文针对一类四阶方程提出了一种基于降阶格式的有效谱 Galerkin 逼近.该方法首先是通过引入一个辅助函数，将四阶方程化为两个耦合的二阶方程，并推导它们的弱形式及其离散格式.其次，利用 Lax-Milgram 引理和正交投影算子的逼近性质，严格地证明弱解和逼近解的存在唯一性及它们之间的误差估计.最后，给出了一些数值算例，通过数值结果表明算法是收敛和高精度的.

1降阶格式及其变分形式

作为一个模型，本文考虑下面的四阶问题

令 .则方程（1）可化为下面两个耦合的二阶问题

引入通常的Sobolev 空间： ； ， 相应的内积和范数分别为，其中I=（-1，1），则（2）、（3）的弱形式为：找， 使得

2 误差估计

3算法的有效实现

4数值实验

为了测试该算法的有效性，本文将给出2个数值算例，并在MATLAB 2019b 平台上进行编程计算.

例1：令 ，显然满足边界条件. 将代入（3）可得，再将代入（2）可得f.对不同的 N，精确解，和逼近解 N，N 在三种模下的误差分别在表1和表2中列出，方程（2）和（3）的精确解和逼近解的拟合图及误差图分别在图1和图2中给出.

从表1和表2可知，当N≥25时，逼近解 N，N 达到大约10-14的精度.另外， 从图1和图2中可以看出该算法是收敛的和高精度的.

例2：令 ，显然满足边界条件。（剩余3842字）