构造“物、影三角形”解北京初三一模几何综合题

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定义：物、影三角形

如图1， ΔADE 与 ΔABC 是位似三角形，我们把其中的一个三角形绕点A旋转一个角度，如图2,我们把图1和图2这样的两个三角形称为“物、影三角形”，即若把其中一个三角形看作是物体，则另一个三角形可以看成是这个三角形的影子.两个物影三角形会有如下性质：

1.连接“物、影三角形”另外两个对应顶点所得线段的比，等于“物、影三角形”中任意一个三角形夹以公共顶点为顶点的那个角两边的比;

2.连接“物、影三角形”另外两个对应顶点所得直线的一组夹角，等于“物、影三角形”以公共顶点为顶点的那个对应角的度数.

图1

图2

性质证明.已知：如图3,ΔADE 与 ΔABC 是一对“物、影三角形”.（通过旋转可知点B 与点 D 是对应顶点，点 C 与点 E 是对应顶点），连接 BD ，CE ，如图3.

图3

求证： 或 ，直线 BD 与 CE 的夹角等于 ∠DAE （或 ∠BAC, ）

证明：因为 ，所以 ∠BAD= ∠CAE. 因为 所以 ΔBAD～ΔCAE

所以 （2 ∠ACE=∠ABD. 在ΔABG 与 ΔFCG 中，因为 ∠ACE=∠ABD ， ∠AGB= ∠FGC ,所以 ∠BFC=∠BAC. 证毕.

说明 两个三角形绕点 A 旋转任意角度，上述两条性质不变.

2025年北京各区一模试卷中有五个区的试卷中的27题（又称为几何综合题）均可用此性质快速解决，下面笔者选取两例以飱读者.

例1（2025年北京市东城区一模第27题）如图4,在 RtΔABC 中， ∠ACB=90∘,AC=BC ，点 D 在AB 上 (AD

（1）依题意补全图形；

(2）求证： ED=BD ：

（3）用等式表示线段 AE 与 BF 的数量关系，并证明.

图4

图5

思路分析 （1）补全图形，如图5；（2）略(3）线段 AE 与 BF 的数量关系为： AE=2BF ：

根据“物、影三角形”的性质，由线段 BF 我们想到构造以等腰 RtΔCDF 为一个三角形的“物、影三角形”，如图6，此时等腰 RtΔCDF 与等腰 RtΔCBH 是一对“物、影三角形”，由“物、影三角形”的性质可得 ；为了找到线段 AE 与 DH 的数量关系，我们再构造“物、影三角形”：等腰 RtΔEDB 与等腰RtΔABH ，如图7，由“物、影三角形”的性质可得 AE ；所以 ,证明完毕.

图6

图7

例2（2025年北京市房山区一模第27题）如图8，在ΔABC 中， ∠BAC= 90∘,AB=AC,D 是 AB 边上一点. E 为 BC 的

图8

中点.将线段 DC 绕点 D 顺时针旋转 90∘ 得到 DF ,连接 AF

（1）依题意补全图形；(2）若点 N 是 AF 的中点，连接 ND 和 NE ,猜想线段 ND 与 NE 的数量关系和位置关系，并证明

思路分析 （1）补全图形如图9；

图9

图10

（2）观察图10不难猜测出线段 ND 与 NE 的数量关系是 ND=NE ，位置关系是 ND⊥NE ，下面我们来寻找证明思路：图中应该有等腰 RtΔABC 和等腰RtΔDFC ,若连接 AE 还有其他等腰直角三角形，所以我们假定 ΔDNE 是等腰直角三角形来寻找其“物、影三角形”寻求破解之法.

思路 我们以点 D 为公共顶点来构造“物、影三角形”：

如图11，找线段 FC 的中点 G ，并连接DG，则有“物、影三角形”：等腰 RtΔDNE 和等腰 RtΔDGC ，而要证明 ΔDNE 是等腰直角三角形，我们就得先证明

即证明“物、影三角形”性质成立的那对三角形），首先有 ,又知点 N ，G 分别是 AF,FC 的中点，于是得 2NG=AC ,又 AC ，所以 ，现在还需证明 ∠DGN=

图11

∠DCE ，而 ∠DCE+∠ACD=45∘ ，为了得到这样的角，我们连接点 G 和 DF 的中点 H ，于是 ∠DGN+ ∠NGH=45∘ ,由中位线知道 GN//AC,GH//CD ，两个锐角的两边分别平行，于是得到 ∠NGH=∠ACD ，所以 ∠DCE=∠DGN ，所以有 ΔDNG～ΔDEC ，于是得 且 ∠CDE=∠GDN ，因为 ∠CDE+ ∠EDG=45∘ ，所以 ∠GDN+∠EDG=45∘=∠EDN 因为 所以 ΔDNE 是等腰直角三角形，分析完毕.

当然，以点 D 为顶点还有其他构造方法。（剩余4082字）