解答圆锥曲线中点弦问题的三个“妙招”

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圆锥曲线中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.解答此类问题，需明确中点弦的特点：（1）弦所在的直线与圆锥曲线相交；（2）弦的两个端点的坐标A（x1，y1）、B（x2，y2）与其中点的坐标M（x0，y0）之间的关系x0=，y0=；（3）弦AB的斜率即为直线AB的斜率k=x（y）1（1）--x2（y2）.常见的解法有利用韦达定理、点差法、导数法.下面结合实例进行探讨.

一、利用韦达定理

圆锥曲线中点弦问题中的弦与圆锥曲线相交，那么弦所在直线的方程与圆锥曲线的方程有两个公共解，所以可以将弦所在的方程与圆锥曲线的方程联立，消去x或y，得到一元二次方程，便可利用方程的根的判别式来约束变量x或y的取值范围，根据韦达定理来建立关于x1+x2、y1+y2、x1x2、y1y2的关系式，再利用中点的坐标公式就能求得弦所在直线的斜率.

例1.已知椭圆C：+=1，点F是椭圆C的一个焦点，过点M（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为N，且|MN|=|AB|，求直线l的方程.

解：①当直线l的斜率不存在时，|AB|=2，|MN|=2，则|MN|≠|AB|，不符合题意.

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，（|y=kx+2，

联立直线与椭圆的方程可得〈+=1，

消去y整理可得（1+4k2）x2+16kx+8=0，

因为Δ=（16k）2-32（1+4k2）>0，所以k2>.设点A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0），

所以x1+x2=-，x1x2=，

则x0==-，

因为|MN|=|AB|，

则=|x1-x2|，可得k=±，所以直线l的方程为y=±x+2.

先将直线与椭圆的方程联立，消去y，即可建立关于x的一元二次方程；然后根据韦达定理建立x1+x2、x1x2的关系式；再根据弦长公式便可求得直线的斜率.

二、巧用点差法

点差法是解答中点弦问题的常用方法.运用点差法解题的主要步骤是：（1）设出弦的两个端点的坐标；（2）将两端点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并将两个方程相减；（3）根据直线的斜率公式以及中点坐标公式，建立中点和直线斜率之间的关系.运用该方法解题，能有效地减少运算量.

例2.若抛物线C：y2=x上存在不同的两点P，Q，且这两点关于直线l：y=m（x-3）对称，求实数m的取值范围.

解：①当m=0时，直线l的斜率不存在，由抛物线的对称性可知，存在P，Q关于直线l对称；

②当m≠0时，设抛物线C上关于直线l：y=m（x-3）对称的两点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），其中点为M（x0，y0），

则x0=，y0=；

因为P，Q的坐标满足抛物线的方程，可得y12=x1，y22=x2，

将上述两式作差可得：

kPQ=x（y）1（1）--x（y）2（2）=y1 y2=2y（1）0，

因为kPQ=-，可得y0=-.

又因为中点M（x0，y0）在直线l：y=m（x-3）上，

所以y0=m（x0-3），即-=m（x0-3），

解得x0=.

因为中点M在抛物线y2=x的内部，

所以y02<x0，可得[m（x0-3）]2<x0，

即m（-3）2<，解得m∈（-，）.

所以实数 m 的取值范围为 （- 10 ， 10） .

解答本题主要运用了点差法.先将弦两端点的坐标代入抛物线的方程中，并将两个方程作差，即可得到有关 x1 + x2、y1 + y2 、x1x2、y1y2 、y1 - y2x1 - x2的式子；然后直接根据直线的斜率公式以及中点坐标公式求解.

三、妙用导数法

运用导数法求解圆锥曲线中点弦问题，需对圆锥曲线的方程求导，根据函数 f （x） 在点 x0 处的导数f ′（x0） 的几何意义：在曲线 y＝f （x） 上点 P（x0，y0） 处的切线的斜率为 f ′（x0） ，来求得圆锥曲线的切线的斜率 f ′（x0） ，以及切线的方程为 y - y0 = f ′（x0）（x - x0） ．因为圆锥曲线的切线有无数条，且切线随着 x0 的变化而变化，所以我们可以将中点弦所在的直线看作与切线平行的直线，据此求得中点弦所在直线的斜率，再将中点的坐标代入即可求得中点弦所在直线的方程。（剩余255字）