数理探微 题析教学

——以2024年中考山东滨州卷第24题的研究为例

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中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1673-8284（2026）02-0053-06

在初中数学教学领域中，对教材经典习题的深度挖掘与探究宛如开启一扇通往数学知识宝库的大门.尤其是近几年，山东滨州初中学业水平考试（以下统称“中考”）数学试题的命制注重挖掘教材中的题目，意在引导教师回归本源、回归教材、用好教材.2024年中考山东滨州卷第24题即以现行人教版九年级下册数学教材第85页“拓广探索”第14题为切入点，由浅入深地串联了锐角三角形、任意三角形及三角形外接圆等重要知识模块，通过基础应用、推广证明与拓展应用层层递进，展现出数学知识的系统性和连贯性．在“数理探微，题析教学”理念的引领下，探索如何借由这道中考试题，引导学生掌握数学思想方法，提升思维能力，感受数学学科的魅力和价值.

1试题呈现

题目【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教 材第85页“拓广探索”第14题如下.

14.如图1，在锐角 ΔABC 中，探究 之间的关系．（提示：分别作 AB 和（BC 边上的高.）

图1

【得出结论】

【基础应用】在 ΔABC 中， ∠B=75∘ ， ∠C=45∘ BC=2 ，利用以上结论求 AB 的长.

【推广证明】进一步研究发现 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足 （ R 为 ΔABC 外接圆的半径）.

试利用图2证明：

图2

【拓展应用】如图3，四边形ABCD中， AB=2 BC=3，CD=4，∠B=∠C=90∘ ，求过A， B ， D 三点的圆的半径.

图3

2 解题思路分析

该题以人教版教材九年级下册第85页“拓广探索”第14题的研究结论为载体，设计了三重渐进式探究任务，解题脉络始终围绕三角学核心定理一一正弦定理展开，具体表现如下．首先，在定理的发现与证明层面奠定认知基础；其次，依托对该题的深度剖析，强化定理应用的实践效能；最终，延伸至定理的变式拓展与跨领域迁移，整个探究过程聚焦定理的生成逻辑濒源、解题策略建构及思维延展维度突破，形成“理解一应用一创新”的完整认知闭环.

2.1 基础应用

“基础应用”一问聚焦正弦定理的实践应用维度，其解题路径呈现了双重方法论特征．其一为显性的公式代人求解，通过建构三角形边角关系的数学模型直接求得线段的长；其二需要回归定理的证明本源，借助对定理生成逻辑的深层理解构造辅助线或转化几何条件．两种方法分别对应“算法执行”与“概念驱动”的思维层级，其中后者更能体现数学化归思想与几何直观的有机融合.

2.1.1 直接代入正弦定理

思路1：如图4，利用结论 求AB 的长，需要知道角度的正弦值．由于无法直接写出sin∠B 的值，且边 a=BC=2 对应 ∠A ，因此由 ∠B= 75∘ ， ∠C=45∘ ，可得 ∠A=60∘ ，就可以利用结论 求解，代人得 sin45。（剩余5318字）