排列组合解题中的“物理”操作

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排列组合是高中数学的重要学习章节，它对考查学生思维的严密性、深刻性、广阔性等具有不可替代的作用，也为学生进一步学习“组合数学…‘概率统计”奠定了坚实的基础.但在排列组合解题中，有些题目所需要的思维方式，却超出了数学的范畴.如果仅仅停留在数学苑网“深挖洞”，可能最终导致无功而返.如果进一步拓广思维视野，跳出数学的方寸天地，就会豁然开朗，姑且把这种思维方式，称为“物理”操作.简而言之，就是要通过一系列的“物理”操作，才能完成解题过程.

一、重构操作

即根据题目的意思，在保持原题本质不变的前提下，重新设计操作程序，使新的操作设计更加贴近题意，更具“数学化”.

例1 袋子里有红、黑、白、黄四种颜色的大小相同的小球各10个.每种颜色的10个小球分别标有数字1、2、3、4、…10.若从中任取4个小球，这4个小球颜色互不相同，且所标数字互不相邻的不同取法共有多少种？

解析首先假想准备10个无颜色无标号的10个大小相同的小球.①将其中的6个球摆好，这6个球连同左右两边一共形成7个空位，②在上述7个空位中，插入另外4个小球，共有C7种，并将这4个小球做好记号，③将上述10个小球从左到右标上序号：1，2，3，…10.④将插入并做好记号的4个小球取出，给小球依次在“红、黑、白、黄”四种颜色中任选一种涂色，则4个小球的涂色方法数为：A4.⑤则合乎题意的不同取法共有：Ⅳ=C4.A：= 840种.

例2从1，2，3，…，9中任取5个数字组成无重复数字的五位数，要求其中仅含有两个连续的数，且这两个连续的数相邻的五位数有多少个？

解析①将余下的4个数，当作4个相同的小球摆成一排，则一共留出（包括左右两边）5个空位.

②将连续的2个数看作2个小球，捆绑成1个小球，插入5个空位中的1个空位.

③将余下的4个空位中插入另外3个小球.

④标记插入的4个单位的“球”，

⑤将这8个小球（实质上是9个）从左至右依次编号1、2、3、…、9.

⑥取出插入的4个单位的“球”，

⑦将这有编号的4个单位的“球”全排列成五位数.

⑧依题意，满足要求的五位数共有：G3.C4.A2.A4=960个，

二、退步操作

对于有范围限制的排列组合问题，可以先退步思考，满足题设条件，使限制范围变得单一常规，再根据组合模式，寻找进一步的解题方法.

例3将15个大小相同的小球放人标有“1，2，3，4”编号的盒子里.则每个盒子里放入的球的个数不小于该盒子的编号数的放法一共有多少种？

解析①如图l所示，预先在2号、3号、4号盒子里依次投入1个、2个、3个小球，则剩余9个小球，②将剩余的9个小球摆成一排，中间留出8个空位，③在上述8个空位里，任意插入3块隔板.④则满足题意的方法一共有：C8=56种.

例4已知M={l，2，3，…，12}，从集合M中任取4个数，要求这4个数中，至少有2个数相邻，问共有多少种取法？

解析①从集合M中任取4个数，共C12 种.②将剩余的8个数，当作8个相同的小球摆成一排，一共留出包括左右两边9个空位，③在9个空位中插入4个小球，并标上记号，④将上述12个球，从左至右，按1，2，3，…，12编号.⑤将标上记号后插入的4个小球取出，则这4个小球号码各不

三、配位操作

对于“搭配”问题，可以先进行配位操作，使之成为一个“大单位”的“元素”，再按照常规思路考虑.

例6公园里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右两边都要有空椅，则有多少种不同的坐法？

解析①先将不坐人的5把椅子排成一排，中间一共留下4个空位.②将3个人安排，每人坐一把椅子，③将“人+椅子”看作1个单位的“人”，在上述4个空位中选择3个空位推进去，④满足题意的坐法共有：A4= 24种.

四、无为操作

对于有些题目，表面上看是有序排列问题，但深入细究，却是组合问题.因为各个元素是相异的，本身就存在天然的次序，这就需要“无为而治”，相反地，如果真正“有为操作”，则会弄巧成拙.

例7把五位数abcde中满足“a>b>c.c

解析①从“0，1，2，3，…，9”中任取5个数，共有c5。（剩余755字）