非紧致度量空间上的持久性

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摘要：考虑非紧致度量空间上同胚的持久性问题，利用同胚的持久性、等度连续性、强拓扑稳定性、持久跟踪性等定义，证明：等度连续且拓扑稳定的同胚是持久的；同胚有持久跟踪性当且仅当该同胚是持久的且有伪轨跟踪性；有持久跟踪性的可扩同胚是强拓扑稳定的.

关键词：持久性；等度连续性；强拓扑稳定性；持久跟踪性；非紧致度量空间

中图分类号：O189.11文献标志码：A文章编号：1671-5489（2024）05-1022-05

Persistence on Noncompact Metric Spaces

LIU Jiahui，DONG Meihua

（College of Science，YanbianUniversity，Yanji 133002，Jilin Province，China）

Abstract：We considered the persistence problem of homeomorphism on noncompact metric spaces.By using the definitions of persistence，equicontinuity，strongly topological stability，and persistent shadowing property of homeomorphisms，we prove that homeomorphisms that are equicontinuity and topologically stable are persistent，homeomorphisms have persistent shadowing properties if and only if they are persistent and have pseudoorbital shadowing properties，and an expansive homeomorphism with persistent shadowing property is strongly topologically stable.

Keywords：persistence;equicontinuity;strongly topological stability;persistent shadowing property;noncompact metric space

如果一个动力系统的同胚的每个轨道都可以被该系统中其他同胚经过足够小扰动的一些真轨跟踪，则该同胚就是持久的.目前，关于持久性的研究已得到了很多结果[12.Lewowicz首次提出了持久性动力系统的概念，并证明了每个具有稠密双曲周期点（包括伪Anosov映射）的二维或三维可扩同胚都是持久的.持久性包括持久性和a-持久性[8-9]，本文主要讨论}-持久性.Sakai等[2]研究表明，紧致度量空间上的移位映射是拓扑稳定的，但不是持久的，而紧致流形上的每个拓扑稳定同胚是持久的.表明相比于拓扑稳定性，它是一种更弱的稳定性.但持久性不能推出拓扑稳定性，因为伪Anosov映射是持久的但不是拓扑稳定的.而在螺线群的群自同构中二者是等价的.Dong等[3]证明了在紧致度量空间上，每个等度连续且逐点拓扑稳定的同胚都是持久的.Khan等给出了上述性质的另一种证明方法，并且验证了紧致度量空间上关于等度连续同胚且逐点强拓扑稳定的Borel概率测度是强持久的.Kawaguchi]提出了强拓扑稳定性的概念.Jung等[5]引入了持久跟踪性的概念，证明了紧致度量空间上每个同胚具有持久跟踪性当且仅当它具有伪轨跟踪性且是持久的，并证明了紧致度量空间的每个强拓扑稳定同胚都是持久的.Lee等[6]提出了非紧致度量空间上同胚的可扩性、伪轨跟踪性和拓扑稳定性等概念，并将紧致度量空间中的Walters稳定性定理和Smale的谱分解定理延伸到了非紧致度量空间中，受上述研究的启发，本文将上述在紧致度量空间中的相关结论扩展到非紧致度量空间中.

1预备知识

设X是紧致度量空间，f是X上的自同胚，d是X上的一个度量，对任意的z∈X，定义任意两个映射之间的C。（剩余6836字）