变式课本习题提升思维能力

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例如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s.那么运动几秒时，它们相距15cm？

解设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，则有CP=BQ=1×t=t厘米，

所以CQ=21-t，

在Rt△PCQ中，由勾股定理可得

CP2+CQ2=PQ2，

即t2+（21-t）2=152，

整理，化简得t2-2t+108=0，

解之，得t1=9，t2=12，

答：运动9秒或12秒时，P，Q两点相距12厘米.

反思探究本题是以几何图形（直角三角形）为载体，两个动点分别在直角边上运动，探究两动点之间的长度符合某个条件时运动时间问题，解决此类问题首先我们要搞清动点运动的方向、时间和速度，以便根据“路程=时间×速度”表示出相关的线段的长度（即含有时间t的整式），然后再结合已知条件求出与求解相关的其他线段，对于较复杂的多个动点问题我们在审题时还应该掌握如下的几条信息.

1.运动的路线：是直线型的还是折线型（转折点的位置）等其他形式;

2.考虑到它们是同时同地、还是同时异地.

3.点运动的范围有无限制（包括时间和路线等），同时我们要学会用变化的眼光去洞察运动变化的全过程，抓住“运动与静止”的辩证关系，用好“动中寻静，以静制动”的解题策略.显然本题的相等关系是由直角三角形的勾股定理来提供的，事实上这也是一个构造一元二次方程常用的一个相等关系.

变式1变化研究问题的视角，从动点运动构成的三角形（或四边形）面积的大小进行探索.

例1已知：如图2，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？

（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由.

解（1）设经过1秒以后△PBQ面积为6cm2，则BP=（5-x）cm，BQ=2xcm.

根据直角三角形的面积公式可得

整理得x2-5x+6=0，

解得x=2或x=3.

答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2.

（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则有

整理得x2-5x+8=0，

Δ=25-32=-7<0，

所以，此方程无解，

答：△PQB的面积不能等于8cm2.

注（1）根据直角三角形的面积公式作为相等关系构造关于时间1的一元二次方程;

（2）考察了一元二次方程根的判别式的应用.

例2如图3，在△ABC中，∠ABC=90°AB=8cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点。（剩余1515字）