做数学试题,赏“美丽图案”

——近几年高中数学考试中“组合曲线”试题赏析

打开文本图片集

最近笔者发现各类考试的解析几何问题中以“组合曲线”为问题情境的考题呈现日益增多的趋势，并且考查的效果较为显著.我们可以发现其中有些“组合图案”既美观新颖，令人赏心悦目，又能切实考查考生分析问题、解决问题的能力以及所具备的各种核心素养.下文笔者将这些年我们邂逅过的一些美丽的“组合图案”进行范例分析.

1 范例及解析

1.1 “蝴蝶”图案

例 1 （2025 年 1 月浙江省强基联盟高三试题）已知抛物线 C：y2=4x ，其中 AC， BD 是过抛物线焦点 F 的两条互相垂直的弦，直线 AC 倾斜角为 α ，当 α=45∘ 时，如图 1 所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为.

图 1

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

解析 易得直线 AC 的方程为 y=x-1， 则直线 BD 的方程为 y=-x+1. 说明此“蝴蝶”图案是以上两条直线与线段 AB，CD 围成的. 通过分析可以得到正确答案为 B.

1.2 “丝带”图案

例2 （2024年高考Ⅰ卷试题）造型可以做成

美丽的丝带，将其看作图2中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于-2，到点 F（2，0） 的距离与到定直线 x=a（a<0） 的距离之积为4，则.

图 2

A. a=-2

B. 点 在 C 上

C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1

D. 当点 在 C 上时，

解析 设曲线上的动点 P（x，y）， 则有 x>-2 且 ， 将 （0，0） 代入方程可得 a=-2. 说明此“丝带”图案是由 这条曲线围成的. 通过分析可以得到正确答案为 ABD.

1.3 “鸡蛋”图案

例 3 （2024 年杭州市第二学期高二检测试题）如图 3， 已知笛卡尔“鸡蛋”曲线 C 过点 F1（-1，0） ，且曲线 C 上任意一点 P 到 F1 和 F2（1，0） 的距离满足 PF1+2PF2=a ，则.

图 3

A. a=4

B. 曲线 C 与单位圆有 3 个交点

C. |OP| 的最小值为

D. |OP| 的最大值为

解析 由曲线 C 过点 （-1，0） 可得 a=4，设 P（x，y） ，则 。（剩余3054字）