对一道圆锥曲线模考题的探究与溯源

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摘要：文章聚焦一道圆锥曲线模考题，深入探究其解题思路与方法.通过详细剖析题目条件，从不同角度给出多种解法，展现圆锥曲线知识的灵活运用，同时，深度溯源，探寻该模考题在教材及历年真题中的命题依据与知识原型，揭示其与圆锥曲线核心知识点的紧密联系，为教学与备考提供有效参考.

关键词：圆锥曲线；直线斜率；探究与溯源

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2025）07-0032-03

收稿日期：2024-12-05

作者简介：杨希蕊，高中在读；

李昌成，本科，正高级教师，从事高中数学教学研究.

直线与圆锥曲线的综合问题一直是高考及模考的常考题型，通常把直线与圆锥曲线等知识融合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其注重对数形结合思想、化归与转化等思想的考查，符合课程标准中“对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础”的要求.下面以2024年武汉市高三第五次调研考试圆锥曲线解答题为例进行分析与探究，并进行相关试题链接及溯源，以飨读者.

1试题呈现

题目如图1，已知双曲线E：x2-y2=1，直线PQ与双曲线E交于P，Q两点，直线MN与双曲线E交于M，N两点.

（1）若直线MN经过坐标原点，且直线PM，PN的斜率kPM，kPN均存在，求kPMkPN；

（2）设直线PQ与直线MN的交点为T（1，2），且TP·TQ=TM·TN，求证：直线PQ与直线MN的斜率之和为0.2总体分析

本题是2024年武汉市高三第五次调研考试第17题，直线与圆锥曲线的综合题.此题以双曲线为载体，第（1）问设点，将斜率表示出来，结合点差法易求，属于基础题.第（2）问入口宽，方法多样.可以设直线的普通方程（点斜式或斜截式），利用向量的数量积结合韦达定理进行转化求解；数形结合易知TP与TQ，TM与TN反向共线，因此可以转化为线段长度的乘积相等，利用弦长公式转化求解，当然求解过程中要注意根据位置关系合理去绝对值，避免讨论；可以结合四点共圆，利用二次曲线系巧妙求解；还可以利用直线参数方程的几何意义求解.当然，不同的求解方法，思维量不同，计算量也有很大的差异.

3试题解答

3.1第（1）问解析

解析设点M（x1，y1），N（-x1，-y1），P（x0，y0），结合点差法易求得kPMkPN=b2a2=1.

3.2第（2）问解析

由题可知，直线PQ与MN的斜率都存在，记kPQ=k1，kMN=k2.

视角1直线点斜式方程切入.

解法1向量数量积结合韦达定理求解.

设直线PQ：y-2=k1（x-1），P（x1，y1），Q（x2，y2），

TP=（x1-1，y1-2），TQ=（x2-1，y2-2），

联立y-2=k1（x-1），

x2-y2=1，消y整理，得

（1-k21）x2-2k1（2-k1）x-（2-k1）2-1=0，

显然1-k21≠0，且Δ>0.

由根与系数的关系，得

x1+x2=2k1（2-k1）1-k21，

x1x2=-（2-k1）2-11-k21（1-k21>0）.①

所以TP·TQ=（x1-1）（x2-1）+（y1-2）（y2-2）

=（x1-1）（x2-1）+k1（x1-1）·k2（x2-1）

=（1+k21）（x1-1）（x2-1）

=（1+k21）［x1x2-（x1+x2）+1］.

将①代入化简整理，得

TP·TQ=（1+k21）·-41-k21.

同理TM·TN=（1+k22）·-41-k22.

由TP·TQ=TM·TN，得-41-k21=-41-k22.

解得k21=k22.

又k1≠k2，所以k1=-k2，即k1+k2=0.

解法2转化为线段积结合弦长公式。（剩余2068字）