由一道题谈解答二面角问题的两种思路

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由一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.我们一般用二面角的平面角来表示二面角的大小.因此求解二面角问题，关键在于确定二面角的平面角的大小或余弦值.下面结合一道例题，谈一谈解答二面角问题的两种思路

题目：在正方体 ABCD-A′B′C′D′ 中， M 为 AB 的中点，求平面 AA′D′D 与平面 A′MC 所成角的余弦值

一、运用投影面积法

运用投影面积法求解二面角问题，需先找到一个半平面内的一个图形在另一个半平面内的投影，然后根据三角形、平行四边形、矩形、菱形等的面积公式求得原图形及其投影的面积，则二面角的余弦值为 ，其中 θ 为二面角的平面角或补角.

解：由正方形的性质可知， ΔA′AD 是 ΔA′MC 在平面 AA′D′D 上的投影，则平面 AA′D′D 与平面 A′MC 所成角的余弦值

设正方体的棱长为 a，M 为 AB 的中点，则 AM= ，

在 RtΔA′AD 中， 因为 A′M=MC ，则 ΔA′MC 为等腰三角形，取 A′C 的中点 Q ，连接 MQ ，如图1所示，则MQ⊥A′C ， 因此 所以平面 AA′D′D 与平面 A′MC 所成角的余弦值 我们根据正方体的性质可以快速确定 ΔA′AD 是ΔA′MC 在平面 AA′D′D 上的投影，求得两个三角形的面积即可轻松解题.在确定投影面时，可以过一个半平面内图形的顶点作另一个半平面的垂线，则垂足的连线所构成的图形即为投影面.

图1

图2

二、采用向量法

运用向量法解答二面角问题，需先根据勾股定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理等寻找垂直关系，找到三条互相垂直的直线，构建出空间直角坐标系；然后根据夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，即可确定二面角的余弦值.

解：以 D 为原点， DA∖DC，DD′ 为坐标轴建立如图2所示的空间直角坐标系 D-xyz ，设正方体的棱长为 Ωa ，平面 AA′D′D 与平面 A′MC 的夹角为 θ ，

则 A（a，0，0） ，由正方体的性质可知 AB⊥ 平面 AA′D′D ，则平面 AA′D′D 法向量为 ，设平面 A′MC 的法向量为 ，而 可得 ， 可得 ，则

我们根据正方体的特征以 D 为原点， DA∖DC，DD′ 为坐标轴建立空间直角坐标系，找到两个半平面的垂线，将其方向向量视为两个半平面的法向量，即可根据向量的夹角公式轻松求得问题的答案。（剩余35字）