解不等式的两种方法

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在解答有关不等式的问题时，通常要解不等式.因而熟练掌握一些解不等式的方法是很有必要的.下面介绍两种解不等式的方法，供大家参考.

一、图解法

对于形如 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 （a≠0） 的一元二次不等式，往往可以采用图解法来解不等式，即通过绘制一元二次函数的图象来确定不等式的解集.运用图解法解答一元二次不等式的一般步骤为：

第一步，判断一元二次不等式的二次项系数 a 的符号，以确定一元二次函数 y=ax2+bx+c 的开口方向.若 a>0 ，则函数的图象开口向上.若 a<0 ，则在不等式的两边同时乘以-1，使二次项的系数为正数;

第二步，计算 Δ=b2-4ac ，并判断 Δ=b2-4ac 的符号；

第三步，求出方程的根.若 Δ>0 ，则方程有2个根半x1、x2（x12） ，若 Δ=0 ，则方程有1个根 x0 ，若 Δ<0 ，则方程无解；

第四步，在平面直角坐标系中标出方程的根，并绘制出一元二次函数 y=ax2+bx+c 的图象；

第五步，观察图象，找出图象上满足不等式的点的集合；

第六步，根据一元二次函数 y=ax2+bx+c 的图象确定一元二次不等式的解集，如下表所示.对于一元二次不等式 ax2+bx+c>0（a>0），x 轴上方的图象上的点都满足不等式.当 Δ>0 时，一元二次不等式的解集为 {x|x>x2∃⋅x1} ，当 Δ=0 时，一元二次不等式的解集为 {x|x≠x0} ，当 Δ<0 时，一元二次不等式的解集为R.对于一元二次不等式 ax2+bx+c<0 （ a>0 ）， x 轴下方的图象上的点都满足不等式.当 Δ>0 时，一元二次不等式的解集为 {x|x12} ，当 Δ⩽0 时，一元二次

不等式的解集为 {x|x≠x0} ，当 Δ<0 ，一元二次不等式的解集为 x

例1.解不等式 x2-5x+6>0 ·

解：令 x2-5x+6=0 ，

分解因式得 x1=2 ， x2=3

画出 y=x2-5x+6 的图象，如图1所示.

图1

观察图象，可以发现图中 x 轴上方的点都满足不等式，

则不等式的解集为

我们根据不等式 x2-5x+6>0 可以确定二次项的系数大于0，即可判定二次函数 y=x2-5x+6 的图象开口向上，求得一元二次方程 x2-5x+6=0 的根，据此画出函数 y=x2-5x+6 的图象，找出图象上在 x 轴上方的点的集合，即可确定不等式的解集

二、标根法

标根法适用于解高次不等式.对于高次不等式（x-x1）（x-x2）…（x-xn）>0 （ <0 ），通常采用标根法来解不等式，其步骤为：

第一步，进行因式分解，使得不等式形如

第二步，分别求得各个因式的零点，并将其按照大小的顺序进行排列， x12<…n ，且 xi≠xj，i≠j 5第三步，将 x1，x2，…，xn 按大小的顺序标在数轴上；

第四步，从数轴上最大根（即 xn ）的右上方开始画曲线，遵循“奇穿偶不穿”的原则，逐个穿过各个根；

第五步，根据数轴确定不等式的解集.如图2，在数轴上方，曲线与数轴所围成的区域为 （x-x1）（x-x2）… （x-xn）>0 的解集;在数轴下方，曲线与数轴所围成的区域为 （x-x1）（x-x2）…（x-xn）<0 的解集

图2

例2.求 x3-x2-4x+4≤0 的解集

解： x3-x2-4x+4=（x-1）（x-2）（x+2）≤0 ，

令 （x-1）（x-2）（x+2）=0 ，

可得 x=1 或 x=2 或 x=-2 ：

在数轴上标出点-2，1，2，如图3所示，

图3

可知不等式 x3-x2-4x+4≤0 的解集为 （-∞，-2] U[1，2].

在“穿根"时，需遵守“奇穿偶不穿”的原则，即遇到奇数重根时，曲线穿过数轴，遇到偶数重根时，曲线不穿过数轴.若 xi=xj ，则两个根为偶数重根，曲线不穿过数轴.

综上所述，图解法、标根法都是解不等式的重要方法.在解不等式时，同学们要将不等式与函数、方程关联起来，灵活运用函数的图象、方程的根来寻找并确定不等式的解集。（剩余0字）