由一道题谈判断直线与圆位置关系的路径

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直线与圆的位置关系问题经常出现在解析几何试题中.解答此类问题，不仅要灵活运用直线与圆的方程、性质，还需灵活运用数形结合思想，借助图形来判断直线与圆的位置关系.下面结合一道例题，谈一谈判断直线与圆的位置关系的两种路径.

例题：已知点A在椭圆 C：x2+2y2=4 上，如图.设o 为原点，点 B 在直线 y=2 上，且 OA⊥OB ，请判断直线 AB 与圆 x2+y2=2 的位置关系.

一、利用点到直线的距离公式

若直线 l 的方程为 Ax+By+C=0（A，B 不同时为0），则点P（x，y）到直线l的距离为d=IAx+By+Cl.在判断直线与圆的位置关系时，我们可以先根据圆的方程确定圆心的坐标和半径 r ，然后根据点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离 d ，再比较 d 与 r 之间的关系.若 d>r ，则直线与圆相离；若 d

解：因为点A在椭圆 C：x2+2y2=4 上，点 B 在直线（204号 y=2 上，

所以设

由 OA⊥OB 得 则 t2cos2θ=2sin2θ

而直线AB的方程为（√2 sinθ-2）（x-t）-（2cos0-t）（y-2）=0.

整理得 4cosθ=0.

由 x2+y2=2 可知圆的圆心为 （0，0） ，半径

由点到直线的距离公式可得点 o 到直线 AB 的距离为：

则 d=r ，所以直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.

我们先根据点到直线的距离公式求得圆心 o 到直线 AB 的距离，再将其与圆的半径相比较，即可快速判断出直线与圆的位置关系.

二、利用一元二次方程的判别式

在判断直线与圆的位置关系时，我们可以直接将直线与圆的方程联立，通过消元构造出关于 x 或 y 的一元二次方程，进而根据直线与圆的交点的个数，判断出方程的判别式 Δ 与0之间的关系.若 Δ>0 ，则直线与圆相交；若 Δ=0 ，则直线与圆相切；若 Δ<0 ，则直线与圆相离.

解：设 A（x0，y0），B（x1，2） ，则 x02+2y02=4① 且 x0x1+2y0=0 ，故 而直线 .AB：（y0-2）（x-x1）=（x0-x1）（y-2）， 即 将直线方程与圆的方程联立，可得 可得 （204

则 Δ=0 ，所以方程只有1个实数根，即直线与圆只有一个交点，

所以直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.

解答本题，关键在于求得直线 AB 的方程，并将其与椭圆的方程联立，构造出一元二次方程，进而根据方程的判别式判断出直线与圆的位置关系.

可见，判断直线与圆的位置，不仅可以从图形入手，利用点到直线的距离公式进行判断，还可以从方程入手，根据一元二次方程的判别式进行判断。（剩余0字）