一道椭圆焦点三角形问题的探究
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1.试题呈现
（2023年全国甲卷，理12）已知椭圆+=1，F1、F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=，则PO=（ ）
A. B. C. D.
2.试题评析
本题以椭圆焦点三角形为载体，考查椭圆的概念和运用余弦定理解三角形，综合考查考生灵活应用数形结合方法与解析几何方法处理几何问题的能力，综合考查考生对椭圆这部分内容的掌握程度.本题思路开阔，解法多样，考查了考生思维的灵活性，对于那些对椭圆焦点三角形性质和焦半径公式有深层次掌握的考生来说，试题难度在一定程度上有所降低，因此本题具有很好的区分度.以下对这道试题进行解法探究和源头探究.
3.解法探究
解法1（余弦定理法）：
由题设可得，a=3，b=，c===，F1F2=2c=2，OF1=OF2=c，
记PF1=r1，PF2=r2，由椭圆的定义可得r1+r2=6，
在△F1PF2中，由余弦定理可得，
r12+r22-2r1r2·=F1F22=12，
所以（r1+r2）2-r1r2=24，解得r1r2=，
设∠POF1=α，则∠POF2=π-α，
由余弦定理推论可得，
cosα=
cos（π-α）=，
两式相加后整理可得，PO2=-c2，
所以PO=
=，
PO==.
点评：本解法运用了一次余弦定理和两次余弦定理推论，推导出中线长的表达式后，运用整体代入思想可求解.
解法2（余弦定理和向量法）：
上同解法1，
由三角形中线的向量公式=（+），
2=（r12+r22+2r1r2cos∠F1PF2）
=[（r1+r2）2-2r1r2+2r1r2cos∠F1PF2］
=（36-2×+2××）=，
所以PO=.
点评：本解法后面运用了三角形中线的向量公式和向量的数量积公式.
解法3（余弦定理和焦半径公式法）：
设P（x0，y0），由题设e===，F1F2=2c=2，
由椭圆焦半径公式可得，
PF1=a+ex0=3+x0，
PF2=a-ex0=3-x0，
在△F1PF2中，由余弦定理可得，F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cos∠F1PF2，
12=（3+x0）2+（3-x0）2-2（3+x0）（3-x0）·，
解得x02=，代入+=1，可得y02=3，
所以PO===.
点评：本解法运用了椭圆焦半径公式和余弦定理，分别解出了点的横坐标平方和纵坐标平方，再运用两点间距离公式可求出PO的值.
解法4（焦点三角形面积公式法）：
设P（x0，y0），由焦点三角形面积公式S△F1PF2
=b2tan=cy0，
因为b2=6，c===，
cos∠F1PF2=，
==，
所以tan=，
所以S△F1PF2=cy0=3=y0，所以y0=，
代入+=1，可得x02=，
所以PO===，故选答案B.
点评：本解法运用了椭圆焦点三角形的两个常见的面积公式、二倍角余弦公式、同角三角函数商式关系式、齐次化思想和两点间距离公式.
解法1、解法2和解法3的共同点在于都运用到了余弦定理这个解三角形知识.解法1和解法2蕴含了三角形中线长公式的两种不同推导方法，解法3和解法4都运用了两点间公式，解法3和解法4需要考生熟练掌握解析几何中的相关二级结论.从运算量来看，解法1和解法2运算量最大，解法3运算量较少，解法4运算量最少.这四种解法都蕴含了数形结合思想、方程思想和化归与转化思想.
4.变式探究
变式（2023年全国甲卷，文7）设F1、F2为椭圆C：+y2=1的两个焦点，点P在C上，若·=0，则PF1·PF2=（ ）
A.1 B.2 C.4 D.5
【解析】由题设可得，a=5，b=1，由题设∠F1PF2
=90°，
因为S△F1PF2=PF1PF2=b2tan=1×tan45°=1，
所以PF1PF2=2，故选答案B.
点评：本题的常规解法是运用椭圆定义表示出PF1+PF2，再运用勾股定理表示出PF12+PF22=F1F22，然后运用完全平方公式可得出结果，本解法运用焦点三角形面积公式使解答更简洁，运算量更少.
5.源头探究
通过查阅资料，发现上述考题改编自以下往年真题：
（2020年新课标Ⅰ卷，文科第11题）设F1，F2是双曲线C：x2-=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且OP=2，则△PF1F2的面积为（ ）
A. B.3 C. D.2
【解法1】由题设可得，c===2，所以F1F2=2c=4，在△PF1F2中，O为线段F1F2的中点，且OP=F1F2，所以∠F1PF2=90°，由双曲线焦点三角形面积公式可得，S△PF1F2===b2=3，
故选答案B.
【解法2】由题设可得，a=1，b=，c===2，
不妨设P（x0，y0），由题设可得，x02-
=1
x02+y02=4，
解得y02=，所以y0=±，
所以S△PF1F2=F1F2y0=·2c·y0=cy0=2×=3，故选答案B.
点评：将本题中的双曲线改为椭圆，给出焦点三角形△PF1F2的顶角∠F1PF2的余弦值，求边F1F2上的中线长OP，即得到上述2023年高考真题.
在对上述真题的探究中我们发现，在新课标、新教材和新高考“三新”背景下，高考试题命制更加灵活，更适合不同层次的考生选择不同解法。（剩余0字）