解答函数不等式问题的两种方法

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函数不等式问题侧重于考查同学们对函数的定义、性质、图象的掌握情况．常见的函数不等式问题有证明函数不等式、由函数不等式求参数的取值范围、比较两个函数式的大小等．下面结合实例，探讨一下解答函数不等式问题的两种方法.

一、主元法

有些函数不等式涉及了多个参数、变量，此时可以采用主元法来解题：首先仔细研究已知条件和函数不等式，建立参数、变量之间的联系，将不等式中的某个参数或者变量视为主元，将函数不等式化为低次数的单变量不等式，便可直接利用一次函数的性质、二次不等式的性质轻松解题.

例1．已知函数 当 a=1 时， f（x） 的最小值为 0 ，证明：当 0< a⩽1 时， ：

证明：由 可得 （x-1）ex-a- ：

设 则

设 则 s′（x）=-xex<0

所以当 x>0 时， s（x） 单调递减，可知s（x）

而 令 t′（x）=0 ，得 x=1

则当 0′（x）<0 ， t（x） 单调递减；当 x>1 时， t′（x）>0 ，所以 t（x） 单调递增，所以 ，

故当 a>0 ！ x>0 时， 即 h′（a）<0 ，所以 h（a） 在 （0，+∞） 上单调递减，则当 0 则当 a=1 时， f（x） 的最小值为 0 所以 故 0

我们先将不等式变形为 ；然后变更主元，将左侧的式子视为关于 Ωa 的函数式 ，

0 ，即可证明不等式.

二、放缩法

放缩法是证明不等式的重要方法．在运用放缩法证明函数不等式时，要灵活运用不等式的性质、函数的单调性、基本不等式，以及一些重要的函数不等式，如 等，将不等式中的代数式进行合理的放缩．在解题时，要明确放缩的方向和目标，把控放缩的“度”.

例2已知函数 证明： f（x）<0

证明：令 则

则当 x>1 时， F′（x）<0 ；当 0′（x）>0 所以 F（x） 在 （0， 1） 上单调递增，在（1，+∞） 上单调递减，所以 F（x）⩽F（1）=0

所以 ，故

所以

令 ，则当 x>0 时， G（x）<0 ，可知 G′（x）=1-x-cosx ，则 G′′（x）= -1+sinx⩽0 ，所以 G（x） 在 （0，+∞） 上单调递减.

又 G（0）=0 ，所以当 x>0 时， G（x）<0 所以 ，即 f（x）<0

对于含有 ， ex 、 sinx 、 cosx 等函数不等式，往往需根据函数的单调性和一些重要的函数不等式对函数式进行放缩。（剩余38字）