由曲线的切线数量求参数的取值范围的思路

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在解题时，我们经常会遇到一类问题：已知曲线的切线的数量，求参数的取值范围.解答这类问题，往往需灵活运用导数的几何意义、直线的斜率公式、直线的点斜式方程、方程的性质等.

若 P(a,b) 为曲线 y=f(x) 外一点，已知过点 P(a,b) 可作曲线 y=f(x) 的切线的数量，求参数 a 、 b 的取值范围，通常可按照以下步骤进行操作：

第一步，设出切点的坐标为 (x0,f(x0)) ）

第二步，根据求导法则求得 y=f(x) 的导函数f′(x); ，由导数的几何意义可知，曲线的切线的斜率为f′(x0)

第三步，根据直线的点斜式方程求得曲线 y=f(x) 在点 (x0,f(x0) )处的切线方程为y -f(x0)=f′(x0)⋅(x-x0)

第四步，将点 P(a,b) 代人切线的方程，得 f′(x0)⋅(a-x0) ，即 b=f(x0)+f′(x0)⋅(a-x0) ，则该方程的解的个数即为曲线的切线的数量；

第五步，在同一平面直角坐标系内，先画出函数 y= f(x)+f′(x)⋅(a-x) 与直线 y=b 的图象，并移动直线y=b

第六步，根据函数 y=f(ρx)+f′(ρx)⋅(ρa-x) 与直线 y= b 的交点个数确定参数 a,b 的取值范围.

下面举例加以说明.

例1.若过点 (a,b) 可以作曲线 y=ex 的2条切线，则

A.eb♭∘♭D.0a

解：设切点的坐标为 ，对y ⋅=ex 求导，可得 ⋅y′=ex 则切线的斜率为 ，所以切线的方程为 ：

将点 (a,b) 代入

可得 ，整理得 号

要使过点 (a,b) 可以作曲线 y=ex 的2条切线，需使关于 x0 的方程 有2个不同的实数根，即函数 ⋅f(x)=ex(a-x+1) 与直线 y=b 有2个不同的交点。（剩余7284字）