看似寻常蕴玄机，道似无情却有情

——深度探究2022年新高考Ⅰ卷数学解析几何大题的源与流

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王国维在《人间词话》中写道：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外. 入乎其内，故能写之;出乎其外，故能观之. 入乎其内，故有生气;出乎其外，故有高致.”同样我们对于高考题的研究同样如此：既要入乎其内——寻求解题的思路和突破口，找到最优解题思路，提炼其中思想方法，从而得到这类题的常规解法，接着找出其共性的知识和通性通法，对其通法深度挖掘和提炼反思;还要出乎其外——寻求其知识的“源”与“流，通过对此基本类型进行变式拓展推广，探窥其本质. 而今年新高考Ⅰ卷数学第21题颇有“韵味”：看似寻常却蕴含“玄机”，但当真正我们去做的时候却发现运算量比较大，颇有“食之无味，弃之可惜”的味道，但只要我们在平时注重运算的算理和算法，掌握解析几何的常规方法，会发现这道解析几何大题对考生看似无情（运算量大）却有情（解法常规且入口多）. 下面我以2022年新高考数学Ⅰ卷第21题这道题为载体，入乎其内——对其解法进行深度探究，突破这道题的运算“瓶颈”，探窥其本质，还出乎其外——对此类双曲线的类型从特殊到一般，进行推广拓展，能“见”双曲线而“思”圆锥曲线，实现深度探究.最终让考生掌握这一类题型的基本方法和技巧，实现高效备考，探究出2023年高考圆锥曲线的高效备考的一些建议和策略，从而实现2023年高考解析几何的高效备考.

一、看似寻常最崎岖，成如容易却艰辛——真题回放

（2022年新高考Ⅰ卷数学第21题）已知点A（2，1）在双曲线C∶-=1（a>1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率;

（2）若tan∠PAQ=2，求△PAQ的面积.

【点评】本题面孔寻常，仍坚持和去年一样考查双曲线，考查内容常规、朴实，这样设置有利于考生思维的展开，给考生一课“定心丸”，这里实际上是解析几何的“手电筒模型”，利用其二级结论很快答案，但这是大题，需要严格的逻辑推理，按照常规思路做，会发现在第（1）问就设置了一个“高门槛”——运算能力要求高，要求出直线l的斜率颇有难度;而第（2）问求△PAQ的面积，这里要转化tan∠PAQ=2这个条件，很多考生也难以转化，加上对长度、面积等几何量进行了多角度、深层次的考查，具有较强的综合性。（剩余9430字）