解一道几何题的心路历程

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教室外，阳光明媚，万里无云，鸟儿在树上欢快地歌唱……但我却无暇去欣赏那美丽的画卷，因为我遇到了拦路虎——一道几何证明题！

题目 如图1，在∠ABC中。AB=AC．D为△ABC外一点，连接AD，BD，CD. BD与AC交于点O．∠BDC=∠BAC．作AM⊥BD于点M.求证：BD=2DM+CD.

第一次解题

由图1可知BD，DM和CD不在同一直线上，若要证明三者之间的和差关系，那就需要“截长补短”，于是，我首先想到构造“2DM”，也就是在MB上截取HM=DM，再证线段BH与线段CD相等，这样就可以得到BD=2DM+CD．

证明：如图2，在MB上截取HM=DM，连接AH.

在△AMH和△AMD中，

AM=AM，

∠AMH=∠AMD=90°，

HM=DM，

∴△AMH≌△AMD（SAS）.

∴AH=AD．

∵∠AOB=∠DOC，∠BDC=∠BAC，

∴180°-∠AOB-∠BAC =180°-∠DOC-∠BDC.

∴∠ABD=∠ACD.

在△ABH和△ACD中．

AH=AD，

AB=AC，

∠ABH=∠ACD．

∴△ABH≌△ACD（SSA）.

等一等，出现问题了！“边边角”条件是不能证明三角形全等的！看来这个思路是错误的，行不通！应该怎么办呢？无奈之下，我只能求助老师了，老师了解我的做法后，对我说：“我们重新整理一下思路，在△ABH与△ACD中，已知一个角和一条边相等，要想证明它们全等，还需要什么条件呢？你可以根据所需条件选择另一种方式来描述你添加的辅助线，再尝试证明．”

我反复体会着老师的话．我发现，在△ABH与△ACD中，我们已经知道∠ABD=∠ACD和AB=AC，如果BH=CD，不就可以用“边角边”来证明全等吗？此刻，终于豁然开朗．柳暗花明！

第二次解题

证明：如图2，在BM上截取BH=CD，连接AH.

∵∠AOB=∠DOC，∠BDC=∠BAC，

∴180°-∠AOB-∠BAC=180°-∠DOC-∠BDC.

∴∠ABD=∠ACD.

在△ABH和△ACD中，

AB=AC，

∠ABH=∠ACD，

BH=CD，

∴△ABH≌ACD（SAS）.

∴AH=AD.

∵AM⊥BD，

∴∠AMH=∠AMD=90°.

在Rt△AMH和Rt△AMD中．

AH=AD，

AM=AM，

∴Rt△AMH≌Rt△AMD（HL）.

∴HM=DM．即DH=2DM.

∵BD=DH+BH，BH=CD。（剩余577字）