等腰三角形问题中常见辅助线的作法

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等腰三角形是一种特殊的三角形，具有底角相等、两腰相等等性质.在解答与等腰三角形有关的问题时，为了充分利用这些性质，常常需要结合已知条件和图形特征，适当添加辅助线，构造出新的特殊图形和全等关系，由此建立已知与未知之间的联系.下面总结了三种常见的辅助线作法，并结合典型例题展开说明.

一、作顶角平分线或底边上的高或中线

在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的高、中线这三条线重合“三线合一"是等腰三角形最重要的性质.因此在解答与等腰三角形有关的问题时，首先考虑作顶角平分线、底边上的高或中线，这样作辅助线是为了充分利用“三线合一”的性质，构造直角三角形或全等三角形，从而求出线段的长度，或证明垂直、线段相等，等等.

例1已知：如图 1，ΔABC 中， AB=AC CDLAB于D.求证： ∠BAC=2∠DCB

图1

证明：如图1，过点 A 作 AE⊥BC 于 E 业因为 AB=AC ，所以

又 CD⊥AB ，所以 ∠CDB=90∘

所以 ∠DCB+∠B=90∘

又 .∠BAE+∠B=90∘ ，所以 ∠DCB=∠BAE

所以

所以 ∠BAC=2∠DCB

二、作腰或底的平行线

在等腰三角形中，过边或其延长线上的一点，在等腰三角形的内部或外部作底边或腰的平行线，根据平行线“同位角相等"的性质，即可构造出一个新的等腰三角形，以此实现转移等角或建立边长的和差关系，进而顺利解答与角或边有关的问题

例2在 ΔABC 中， .AB=AC，∠BAC=60∘ ，点D 在 AC 上，点 E 在 BC 的延长线上，且 BD= DE ，如图2.若点 D 在线段 AC 的延长线上，求证： AD=CE

图2

解：如图2，过点 D 作 DP//BC ，交 AB 的

延长线于点 P 因为 AB=AC，∠BAC=60∘ 所以 ΔABC 是等边三角形， ΔAPD 也是

等边三角形，所以 AP=AD=PD ，且 ∠APD=∠PDC=∠BCA=60∘. 又 ∠BCA=∠DCE=60∘ ，所以 ∠APD=∠DCE 业因为 DB=DE ，所以 ∠DBC=∠E 因为 DP//BC ，所以 ∠PDB=∠DBC=∠E， 且 DB=DE ，所以 ΔBPD≅ΔDCE 所以 PD=CE ，所以 AD=CE

三、倍长中线或截长补短

倍长中线或截长补短是全等三角形中两种重要的辅助线作法，对于等腰三角形问题同样适用.当题中涉及中线时，优先考虑倍长中线的作法，即延长底边或腰上的中线至某点，使延长部分等于中线长，然后连接该点与另一顶点.当题中涉及线段的和差关系时，则考虑截长补短法，即在较长的线段上截取一段等于较短的线段，或将较短的线段延长至等于较长的线段.两种方法的目的都是构造全等三角形，以便转移边角关系，解答线段的和差关系、倍分关系等问题

例3如图3，在 ΔABC 中， AB=BC ，延长CA 至点 D ，使 AD=AC，E 为 AB 上一点，连接DE ，满足 ∠AED=∠B 求证： DE-BE=AE

图3

证明：如图3，延长 EA 至点 F ，使 AF=AE 连接 CF 因为 AD//C，∠DAE//CAF 所以 ΔADE≅ΔACF 所以 DE=CF，∠AED=∠F. 因为 ∠AED=∠B ，所以 ∠F=∠B ，所以 BC=CF=DE=AB 因为 AB-BE=AE ，所以 DE/-BE/=AE

与等腰三角形有关的问题中的辅助线作法，除了以上三种，还有倍长腰，构造直角三角形；旋转一定角度，构造全等三角形；作外接圆获得等角等.针对复杂的几何问题，有时单一的辅助线还不够，需要将多种辅助线联合运用才能有效解题.因此，同学们要熟练掌握每种辅助线的适用场景与核心目的，通过反复练习，融会贯通，从而高效解答有关等腰三角形的综合性问题。（剩余0字）