掌握有效方法，轻松分解因式

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分解因式是初中数学的重要内容之一，也是代数运算的基石.对此，笔者归纳了几种常用的分解因式的方法，以期对同学们解题有所助益.

一、拆项添项法

拆项添项法主要是通过合理地拆分或添减项达到分解因式的目的.对于形如 ax2+bx+c 的二次三项式，若无法直接使用十字相乘法或公式法分解时，常将中间项 bx 拆分成两项，使得拆分后的多项式能通过分组分解法提取公因式，进而实现整体分解；若该多项式接近完全平方（如缺少完全平方的某一项），常通过“添一项、减同一项"的方式，先构造出完全平方式，再利用平方差公式完成分解

例1分解因式： x3-3x+2

分析：该因式是一个三次三项式，无法直接分解，可以考虑将中间项 -3x 拆分成 -x-2x ，这样原式就变成了 x3-x-2x+2

评注：拆项添项法，一般优先拆分中间项，使分组后出现公因式；在拆项时要注意正负号，避免出现错误；分解后需展开检查是否与原式一致.

二、十字相乘法

十字相乘法主要是通过十字交叉相乘验证系数组合，从而将二次三项式转化为两个一次多项式的乘积形式，具体步骤如下：（1）分解首尾系数.将二次项系数 a 分解为 a1 和 a2 的积，即 a=a1⋅a2 ；将常数项 c 分解成 c1 和 c2 的积，即 c=c1⋅c2 ;（2）十字交叉验证.即将 a1，a2 和 c1，c2 交叉相乘后相加，使交叉项之和等于一次项系数 b ，即 a1c2+a2c1=b ;（3）横向写出因式.若交叉验证成立，则可以得到分解结果（a1x+c1）（a2x+c2） 中

例2分解因式 ：5x2-8xy-21y2

分析：该因式为二元二次三项式，二次项系数 5=5×1 ， -21y2=7y×（-3y）. ，且有 1×7+5x （-3）=-8 ，因此可以使用十字相乘法分解因式.

解：因为 5=5×1，-21=7×（-3）

所以 5x2-8xy-21y2=（5x+7y）（x-3y）.

评注：用十字相乘法分解因式可以总结为“竖着拆，交叉乘，凑中间，横着写”，适用于形如 ax2+bx+c（a≠0） 的二次三项式的因式分解，且需要满足如下条件：（1）二次项系数可分解：存在整数 m ， p 使 a=m×p ；（2）常数项可分解：存在整数 n，q 使得 c=n×q ;（3）交叉乘积和匹配：满足 mq+np=b ：

三、换元法

用换元法分解因式是一种通过引入新的变量替换重复出现的代数式，将复杂多项式转化为简单形式进行分解的方法.具体步骤如下：（1）设元：观察多项式，选择重复出现或结构复杂的式子作为换元对象，用新的字母代替，将原式转化为含新变量的简单多项式；（2）分解：对含新变量的表达式进行因式分解；（3）回代：将新的变量还原为原来的代数式，并检查是否能继续分解；（4）验证：将分解后的几个因式相乘，并展开，检查所得的多项式是否与原式一致.

例3分解因式： （x2+x+1）（x2+x+2）-12.

分析：此因式较为复杂，直接分解有点棘手，观察该多项式的结构，不难看出 x2+x 重复出现，对此，我们可以令 ⋅m=x2+x ，借助换元法分解因式.

解：令 m=x2+x

则原式变为： （m+1）（m+2）-12=m2+3m+2- 12=m2+3m-10=（m-2）（m+5）

所以，原式 =（x2+x-2）（x2+x+5）

=（x-1）（x+2）（x2+x+5）.

评注：当多项式结构出现重复或对称的式子时，利用换元法分解因式可以避繁就简，换元后要注意检查结果是否可以继续分解，分解完成后务必要注意将新变量代回原式.

总之，掌握有效的方法，可以提高解题的准确性和效率.分解因式的方法较多，同学们要注意根据多项式的结构特征灵活选择分解方法，从而轻松解题。（剩余0字）