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——一道函数综合题的解题思考

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一、原题呈现

二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（−1，0），B（4，0）.

（1）求此二次函数的表达式.

（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点，动点N在线段DE上运动，连接CF，CN，FN，若以点C，D，N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标.

（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45°，求点P的坐标.

分析：这是一道较为典型的二次函数综合题，将三角形知识与二次函数相结合，综合考查学生对于三角形相似的判定和性质，二次函数基本性质的掌握情况，方法比较开放，笔者在此列举（3）的三种常见解法，从不同的角度对此问题进行探究.

（2）解法如下：

解：（1）当x=0时，y=4，∴C（0，4） .设抛物线的表达式为，将点C的坐标代入得：，解得， ∴抛物线的表达式为.

（2）设点N的坐标为则，由于∠CDN与∠FEN对应关系确定，分以下两种情况讨论

① 当△CDN∽△FEN时，即，解得

∴点N的坐标为

（3）② 当△CDN∽△NEF时，即，解得：

∴点N的坐标为

综上所述，点N的坐标为或

二、解法赏析

1 .构造等腰Rt△，利用“三直角”模型

解1：如图3，过A点作AD⊥MP，垂足为D，过D点作x轴的垂线DF，垂足为F，过M点作ME∥x轴，交DF于E，过M点作x轴的垂线MG，垂足为G.

∵∠AMP=45°，AD⊥MP

∴△AMD为等腰Rt△

∴AD=MD

易证△ADF≌△DME ∴ DF=ME，AF=DE

由点M的横坐标是1得M（1，6），∴E点纵坐标也为6即EF=6；

设点D的横坐标为d，又A（−1，0），

则DE=AF=d+1，DF=ME=d-1

又∵DE+DF=EF=6∴d+1+d-1=6 ∴d=3

∴DE=AF=4由△ADF∽△DPF或射影定理可得PF=1

∴P（4，0）

评注：由于45°角的存在，易想到构造等腰Rt△，由A点作垂线，也容易想到.由于构造出的等腰Rt△在平面直角坐标系中是较为“一般”的（没有边坐标轴平行或重合），因此可以通过过直角定点作坐标轴垂线的方法构造“三垂直”模型，结合等腰Rt△的性质，可得一组全等三角形.但此处相等的边只有AD，MD为已知，因此充分利用A，M这两个已知点，发现DE与DF的和为定值，即可解决.

此方法中构造等腰Rt△和“三直角”模型的辅助线，学生能想到，但最后一步建立等量关系求出D点坐标，部分学生方法不够简洁，需要优化.

还有过N点作垂直的方法也类似，不做展开，见图3-1

解2：如图4，过A点作AK⊥AM，交抛物线于K，过A点作x轴的垂线LQ，分别过K，M作x轴平行线交LQ于L，Q点.

∵∠AMP=45°，AK⊥AM

∴△AMK为等腰Rt△

∴AM=AK

易证△AML≌△AKQ

∴ KQ=ML，AQ=AL由点M的横坐标是1得M（1，6），

∴L点纵坐标也为6即AL=KQ=6；

又A（−1，0），则ML=2=AQ

∴K（5，−2）

由M，K坐标解得直线MK的表达式为y=−2x+8

∴ P（4，0）

评注：此方法的思路基本与第一种一致，但算法上更为简洁。（剩余766字）