中考压轴题

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名师原创

平面直角坐标系中，点A，B坐标分别是（m，0），（0，2m），以OA，OB为边作矩形OAPB.

定义：矩形OAPB内部（不含边界）的函数图象为G，当G随x的增大而增大或者随x的增大而减小时，称G为矩形OAPB的“单调图象”.

（1）如图1，一次函数y = kx + b与x轴、y轴分别交于C（4，0），D（0，2）两点，当G为矩形OAPB的“单调图象”时，求m的取值范围.

（2）如图2，反比例函数y = [kx]的图象经过点（1，3），当G为矩形OAPB的“单调图象”时，求m的取值范围.

[y][x] [D][B][P][A][O][C] [y][x] [B][P][A][O]

图1 图2

（3）如图3，二次函数y = [ax2+bx+c]顶点坐标为（1，2），与x轴交于C，D两点（C在D左侧），与y轴交于点E[0，32].

①当G为矩形OAPB的 “单调图象”时，求m的取值范围.

②如图4，将矩形OAPB绕点A顺时针旋转90°，得到矩形O'AP'B'，连接PP'交O'B'于点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点H，设MH的长度为h，当G同时为矩形OAPB和矩形O'AP'B'的“单调图象”时，求h的取值范围.

[x][y][B][P][A][O][C][D][E] [x][y][H][E][B][P][B'][P'][A][O][C][D][O'][M]

图3 图4

思路点拨

（1）当点P在直线CD上时，m = [45]，所以当m > [45]时，G为矩形OAPB的“单调图象”.

（2）①若矩形OAPB在第一象限，当点P在反比例函数图象上时，m = [62]，所以当m > [62]时，G为矩形OAPB的“单调图象”. ②若矩形OAPB在第一象限，当点P在反比例函数图象上时，m = - [62]，所以当m < - [62]时，G为矩形OAPB的“单调图象”.

（3）①当矩形OAPB在第一象限，点B与点E重合时，m = [34]，当点P与抛物线顶点重合时，m = 1，所以，当[34] < m ≤ 1时，G为矩形OAPB的“单调图象”；若矩形OAPB在第三象限，当点A与点C重合时，m = -1，所以，当m < -1时，G为矩形OAPB的“单调图象”. ②因为当G为矩形OAPB的“单调图象”时，[34] < m ≤ 1或m < -1，只需要再满足G为矩形O'AP'B'的“单调图象”即可. 当矩形O'AP'B'在第一象限时，若B'在抛物线上，则m = [2+319]，若A与D重合，则m = 3. 因此当[2+319] < m ≤ 3时，G为矩形O'AP'B'的“单调图象”. 综上，当[2+319] < m ≤ 1时，G同时为矩形OAPB和矩形O'AP'B'的“单调图象”，此时M（2m，m），[h=yH-yM=-2m2+m+32]，则[12≤h<231+139162]. 当矩形O'AP'B'在第三象限，[-3<m<-1]时，[h=yM-yH=2m2-m-32]，则[32<h<9+232].

（本文系辽宁省教育科学“十四五”规划2021年度课题“初中数学优质课堂教学背景下的作业设计研究”的阶段性研究成果。（剩余0字）