“一线三等角”全等模型及其应用

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“一线三等角"全等模型是初中几何中的常见模型.掌握这一模型的本质特征、推导思路及应用方法，能帮助同学们快速破解有关三角形全等的几何难题.下面详细介绍这一模型，并结合典型例题探讨其在初中数学中的具体应用.

一、“一线三等角"全等模型的解读

“一线三等角"全等模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，且由这三个角的边长构成的一组全等三角形．这三个等角可以是锐角、直角或钝角，也可以在直线的同侧或异侧.如图1，2，是以三个锐角构成的全等模型.

图1

图2

如图1，点 B 在直线 ξl 上， ∠1=∠2=∠3 ，

AB=EC ，求证： ΔABD≅ΔCEB

证明：因为 ∠DBC=∠1+∠D=∠2+∠EBC 且 ∠1=∠2 ，

所以 ∠D=∠EBC

又 AB=EC ，所以 ΔABD≅ΔCEB（AAS）

（2）如图2，点 B 在直线 l 上， ∠1=∠2= ∠3 ， AB=EC ，求证： ΔABD≅ΔCEB ·

证明：因为 ∠1=∠D+∠ABD ∠2=∠EBC+ ∠ABD ，

所以 ∠D=∠EBC

又 ∠DAB=∠BCE=180∘-∠1 ， AB=EC ，所以 ΔABD≅ΔCEB（AAS）

上述两种类型都是依据全等三角形的判定定理（AAS）证明的，其它情形也可以依据这一判定定理进行证明.该模型的重要特征是三个等角的顶点在同一条直线上.在解题时，它能为我们系统性地构造或证明三角形全等创造条件，获得线段或角的相等关系.

二、关于“一线三等角”全等模型的应用

例1如图3，四边形 ABCD 中， ∠ABC= ∠CAB=∠ADC=45∘ ， ΔACD 面积为12，且 CD 的长为6，求 ΔBCD 的面积.

图3

解：过 A 作 AE⊥CD 于 E ，过 B 作 BF⊥

CD 交 DC 延长线于 F ，如图3.因为 ∠ABC=∠CAB=45∘ ，所以 ∠BCA=90∘ ， BC=AC ·故 ∠BFC=∠BCA=∠CEA=90∘ ，符合“一

线三等角”全等模型.由模型的结论可得 ΔBFC≅ΔCEA ，则 BF=CE ·因为 ΔACD 面积为12，且 CD=6 ，所以 ，所以 AE=4 ：因为 ∠ADC=45∘ ， ∠CEA=90∘ ，所以 ΔDEA 是等腰直角三角形，则 DE=AE=4 ，故 CE=CD-DE=2=BF ·所以

说明：要求 ΔBCD 的面积，先要确定高，故过点 B 作 DC 延长线上的垂线段，因此 CD 上存在两个直角，再作过点 A 的垂线，即可构成“一线三等角”全等模型，然后利用线段的相等关系求面积.本题属于类比探究类的题目，掌握模型的要点，准确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

例2如图4，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上，求实数 n 的值.

图4

图5

解：如图5，连接正方形的对角线，根据对称性，可知对角线过坐标原点，即

∠AOB=90∘ ·再过点 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分

别为 δC，D ，点 B 在 上.故 ∠AOB=∠BDO=∠ACO=90∘ ，且 AO=

BO，故构成“一线三等角"全等模型，易证 ΔAOC≅ΔOBD ：故 因为 A 点在第二象限，所以 n=-3 ：

说明：本题以函数为背景，通过在平面直角坐标系中作直角 ∠AOB ，然后过点 A ，B作垂线段，即可构成“一线三等角”全等模型，然后利用全等三角形的面积相等的性质实现解题.

总之，“一线三等角”全等模型在解题中有着重要的作用，同学们要把握模型的核心和本质，准确识别模型，或挖掘隐含条件，从特定角出发进行联想，合理构建模型，从而巧妙运用模型解题。（剩余0字）